$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$
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『場の量子論と対称性』の講義の続きとして今回からは共形場理論の話をする。以下では『場の量子論と対称性』の10個の講義の話を前提として話をするので適宜参照して頂きたい。

共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）とは、共形変換という種類の変換に対して作用が不変な場の理論の総称である。特に、$2$次元系では複素関数論で扱ったRiemann 面上における理論として議論することが出来る。

今後はまず共形変換とその代数について議論する。ここでは量子力学や場の量子論で出てきた対称性が出てくるので、必要に応じて適切な箇所を復習してほしい。

共形代数

Euclid 時空において、Poincare 群は共形群に拡張される。この群は角度を保存する変換で構成されている。Minkowski 時空において、共形変換は局所的な因果律を保存するような変換として定義される。すなわち、空間的（時間的）な分離点は変換によってそのまま空間的（時間的）な分離点に写される。特に、光的な分離点はそのまま光的な分離点に写る。

計量$g_{\mu\nu}$を用いて、非自明な線素$ds^2=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu$を考えてみると、共形変換はスケールパラメーターに依存する任意の（但し、正の！）時空において計量$g_{\mu\nu}$を不変にする変換であるとみなすことができる。すなわち、共形変換とは

$$\begin{equation} g_{\mu\nu}(x)\mapsto\Omega(x)^{-2}g_{\mu\nu}(x)\coloneqq\mathrm{e}^{2\sigma(x)}g_{\mu\nu}(x)\tag{48} \end{equation}$$

となるような変換$x\mapsto\tilde{x}=f(x)$である。従って、共形変換は微小な時空の間隔を$ds’^2=\mathrm{e}^{2\sigma(x)}ds^2$に変換するが（本によってはここが$\sigma(x)$とされていることもある。）、角度は局所的に不変なまま保ち、因果構造を保存するということが言える。

平らな時空、すなわち、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$の場合の共形変換を決定しよう。微小変換$x^\mu\mapsto\tilde{x}^\mu=x^\mu+\epsilon^\mu(x)$において、計量は次のように変換する。

$$\begin{equation} \eta_{\mu\nu}\mapsto\eta_{\mu\nu}+\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu\tag{49} \end{equation}$$

定義(48)を用いると、微小な共形変換は

$$\begin{equation} \partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=2\sigma(x)\eta_{\mu\nu}\tag{50} \end{equation}$$

を満たす必要がある。但し、$\Omega(x)=1-\sigma(x)+\mathcal{O}(\sigma^2)$を用いた。両辺を$\eta^{\mu\nu}$で縮約をとると、$d$次元について$\partial\cdot\epsilon=\partial_\mu\epsilon^\mu=\sigma(x)\cdot d$を得る。従って、微小変換は$\epsilon(x)$が

$$\begin{equation} \{\eta_{\mu\nu}\partial_\rho\partial^\rho+(d-2)\partial_\mu\partial_\nu\}\partial\cdot\epsilon=0\tag{51} \end{equation}$$

を満たすなら共形変換である。(50)に$\partial_\rho$などを作用させると、次の式を得る。
$$\left\{ \begin{array}{l} -\partial_\rho\partial_\mu\epsilon_\nu-\partial_\rho\partial_\nu\epsilon_\mu=-2\partial_\rho\sigma(x)\eta_{\mu\nu}\\ +\partial_\nu\partial_\rho\epsilon_\mu+\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho=+2\partial_\nu\sigma(x)\eta_{\rho\mu}\\ +\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho+\partial_\rho\partial_\mu\epsilon_\nu=+2\partial_\mu\sigma(x)\eta_{\nu\rho} \end{array} \right.$$
これらを辺々足し合わせた式$\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_\rho=(-\eta_{\mu\nu}\partial_\rho+\eta_{\rho\mu}\partial_\mu+\eta_{\nu\rho}\partial_\mu)\sigma(x)$に$\eta^{\mu\nu}$を作用させて$\mu$と$\nu$を縮約させると$\partial^2\epsilon_\rho=(2-d)\partial_\rho\sigma(x)$を得る。一方で(50)に$\partial^2$を作用させると、
$$2\eta_{\mu\nu}\partial^2\sigma(x)=\partial^2(\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu)=2(2-d)\partial_\mu\partial_\nu\sigma(x)$$
となる。よって、$\{\eta_{\mu\nu}\partial_\rho\partial^\rho+(d-2)\partial_\mu\partial_\nu\}\sigma(x)=\{\eta_{\mu\nu}\partial_\rho\partial^\rho+(d-2)\partial_\mu\partial_\nu\}\partial\cdot\epsilon=0$となって、(51)を得る。注目すべきは、$d=2$と設定したとき(51)が簡単化されるということである。これは後で驚くべき結果をもたらすことになる。従って、この後、この節では$d=2$の場合と$d>2$の場合に分けて考える。まず、$d>2$の場合について次の講義で考えてみることにしよう。

そこで、第12・13講では$d>2$における共形代数を扱う。代数の計算は一度自分でやったほうが理解も深まると思うから、ここでは演習問題を交えながら話を進めていく。そして第14講では$d=2$における共形代数を扱う。