$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$
$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$
$d>2$次元における共形代数
問題
特殊共形変換は反転$x^\mu\mapsto x’^\mu=x^\mu/x^2$、並進$x’^\mu\mapsto x”^\mu=x’^\mu+b^\mu$、そしてもう1つの反転$x”^\mu\mapsto x”’^\mu=x”^\mu/x”^2$に分解されることを示せ。
問題
反転は単位元に関連しないこと、すなわち、微小な$\epsilon^\mu$を用いて$x’^\mu=x^\mu+\epsilon^\mu(x)$のように書くことが出来ないことを示せ。
Euclid 時空の符号において、並進、回転、スケール変換、特殊共形変換で生成される共形群は$SO(d+1,1)$である。任意の共形変換は、反転を回転と並進に結びつけることによって生成することが出来るが、$2$つまたは任意の偶数の反転の組合せも共形群$SO(d+1,1)$の要素になり得る。回転、平行移動、及び任意の数の反転によって生成される群は$O(d+1,1)$である。
任意の共形変換において、我々は${\mathcal{R}^\mu}_\rho(x)$を次のように定義することが出来る。
\begin{equation}
{\mathcal{R}^\mu}_\rho(x)=\Omega(x)\dfrac{\partial x’^\mu}{\partial x^\rho}\tag{59}
\end{equation}
${\mathcal{R}^\mu}_\rho(x)$は局所Lorentz 変換をあらわしている。何故なら、
\begin{equation}
{\mathcal{R}^\mu}_\rho(x){\mathcal{R}^\nu}_\sigma(x)\eta_{\mu\nu}=\eta_{\rho\sigma}\tag{60}
\end{equation}
となるからである。Euclid 時空の符号の場合は、$\eta_{\mu\nu}$を$\delta_{\mu\nu}$と置き換えることが出来るから、${\mathcal{R}^\nu}_\sigma(x)$は$O(d)$に属する局所的な直交回転になる。これは後でやる共形相関関数の構築に便利であることが証明されている。
反転$x’^\mu=x^\mu/x^2$においては、
\begin{equation}
\Omega(x)=x^2\tag{61}
\end{equation}
と得ることが出来て、局所的な直交回転(59)は$\mathcal{R}^{\mu\nu}(x)=I^{\mu\nu}(x)$と与えられる。但し、
\begin{equation}
I^{\mu\nu}(x)=\delta^{\mu\nu}-2\dfrac{x^\mu x^\nu}{x^2}\tag{62}
\end{equation}
である。(62)の反転行列$I$は平行移動の際に重要な役割を果たす。$2$点$x$、$y$において、次のような結果を得ることが出来る。
\begin{equation}
I^{\mu\nu}(x’-y’)={\mathcal{R}^\mu}_\alpha(x){\mathcal{R}^\nu}_\beta(y)I^{\alpha\beta}(x-y)\tag{63}
\end{equation}
これは、次のことを示唆している。これは2点関数の計算で利用する。
\begin{equation}
(x’-y’)^2=\dfrac{(x-y)^2}{\Omega(x)\Omega(y)}\tag{64}
\end{equation}
問題
(62)で定義される$I$について、$\mathrm{det}I=-1$を示せ。
反転を用いると、共形変換の下で均質に変換するようなベクトルも定義することが出来る。$3$点$x$、$y$、$z$において、このベクトルは$(x-z)_\mu$の反転と$(y-z)_\mu$の反転の差で作られる。このベクトルは$Z_\mu$と書かれて、点$z$において次のように定義される。
\begin{equation}
Z^\mu=\dfrac{(x-z)^\mu}{(x-z)^2}-\dfrac{(y-z)^\mu}{(y-z)^2}\tag{65}
\end{equation}
これは、次のことを示唆している。これは3点関数の計算で利用する。
\begin{equation}
Z^2=\dfrac{(x-y)^2}{(x-z)^2(y-z)^2}\tag{66}
\end{equation}
任意の共形変換において、ベクトル$Z^\mu$は次のように共変に変換する。
\begin{equation}
Z’^\mu=\Omega(z){\mathcal{R}^\mu}_\alpha(z)Z^\alpha\tag{67}
\end{equation}
点$x$、$y$においては、同様の共変ベクトル$X^\mu$、$Y^\mu$となり、$Z^\mu$のサイクリック置換で定義される。
