$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$
$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$

$d=2$次元における共形代数

$2$次元と言う特殊な場合（今、平らな時空$g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}$を考えている。）は、微小な共形変換を特徴付ける条件(51)はシンプルな形になる。変換$z\mapsto w(z)$が共形変換になるためには、

これらの方程式は複素解析におけるCauchy-Riemann の微分方程式になるということが容易に分かるが、ここでは複素座標を$z=x^0+ix^1$、$\bar{z}=x^0-ix^1$と導入するのが便利である。従って、$\epsilon=\epsilon^0+i\epsilon^1$は$z$の関数、すなわち正則であり、一方で$\bar{\epsilon}=\epsilon^0-i\epsilon^1$は$\bar{z}$の関数、すなわち反正則である。$\epsilon(z)$と$\bar{\epsilon}(\bar{z})$は次のようにLaurent 展開出来る。

従って、$z\mapsto z’=z+\epsilon(z)$と$\bar{z}\mapsto\bar{z}’=\bar{z}+\bar{\epsilon}(\bar{z})$によって与えられる微小変換は共形である。$\epsilon_n,\bar{\epsilon}_n\neq0$のみが条件として与えられているときの共形変換の生成子は

となる。

問題

生成子$l_n$、$\bar{l}_m$の交換関係が以下であらわされることを示せ。

特に生成子$\{l_{-1},l_0,l_1\}$とその複素共役は有限次元の部分代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$を生成する。この部分代数は大域的な共形変換に対応している。$K_\mu$、$P_\mu$、$D$はそれぞれ$l_{-1}$、$l_0$、$l_1$に対応している。また、今、

生成子$l_n$とその交換関係のみを考えよう。量子論において、対応する演算子$L_n$は次のように、僅かに異なる交換関係を満たす。

これはVirasoro 代数として知られている。ここで、係数$c$は中心電荷と呼ばれるものである。交換関係(72)における付加項は量子効果であり、他の全ての演算子$L_n$と自明に交換するような恒等演算子$I$が掛かっている。従って、Virasoro 代数は代数(71)の中心拡大であると言われる。