$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$
$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$

$d=2$次元における共形代数

$2$次元と言う特殊な場合（今、平らな時空$g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}$を考えている。）は、微小な共形変換を特徴付ける条件(51)はシンプルな形になる。変換$z\mapsto w(z)$が共形変換になるためには、
\[
\delta^{\mu\nu}\mapsto\left(\dfrac{\partial w^\mu}{\partial z^\alpha}\right)\left(\dfrac{\partial w^\beta}{\partial z^\nu}\right)\delta^{\alpha\beta}\propto\delta^{\mu\nu}
\]
となる必要がある。添字に$1$、$2$を代入すれば、具体的に以下のような式が導ける。
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^0}\right)\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^0}\right)+\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^1}\right)\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^1}\right)&=&\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^0}\right)\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^0}\right)+\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^1}\right)\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^1}\right)\\
&&\\
\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^0}\right)\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^0}\right)+\left(\dfrac{\partial w^0}{\partial z^1}\right)\left(\dfrac{\partial w^1}{\partial z^1}\right)&=&0
\end{array}
\right.
\]
従って、微小な共形変換を特徴付ける条件は
\[
\partial_0w_1=\pm\partial_1w_0　、　\partial_0w_0=\mp\partial_1w_1　(複号同順)
\]
となる。この講義では、$\partial_0w_1=-\partial_1w_0$、$\partial_0w_0=+\partial_1w_1$を採用している。

\begin{equation}
\partial_0\epsilon_1=-\partial_1\epsilon_0　、　\partial_0\epsilon_0=\partial_1\epsilon_1\tag{68}
\end{equation}

これらの方程式は複素解析におけるCauchy-Riemann の微分方程式になるということが容易に分かるが、ここでは複素座標を$z=x^0+ix^1$、$\bar{z}=x^0-ix^1$と導入するのが便利である。従って、$\epsilon=\epsilon^0+i\epsilon^1$は$z$の関数、すなわち正則であり、一方で$\bar{\epsilon}=\epsilon^0-i\epsilon^1$は$\bar{z}$の関数、すなわち反正則である。$\epsilon(z)$と$\bar{\epsilon}(\bar{z})$は次のようにLaurent 展開出来る。

\begin{equation}
\epsilon(z)=-\sum_{n\in\mathbb{Z}}\epsilon_nZ^{n+1}　、　\bar{\epsilon}(\bar{z})=-\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bar{\epsilon}_n\bar{z}^{n+1}\tag{69}
\end{equation}

従って、$z\mapsto z’=z+\epsilon(z)$と$\bar{z}\mapsto\bar{z}’=\bar{z}+\bar{\epsilon}(\bar{z})$によって与えられる微小変換は共形である。$\epsilon_n,\bar{\epsilon}_n\neq0$のみが条件として与えられているときの共形変換の生成子は

\begin{equation}
l_n=-z^{n+1}\partial_z　、　\bar{l}_n=-\bar{z}^{n+1}\partial_{\bar{z}}\tag{70}
\end{equation}

となる。

問題

生成子$l_n$、$\bar{l}_m$の交換関係が以下であらわされることを示せ。

\begin{equation}
[l_n,l_m]=(m-n)l_{m+n}　、　[\bar{l}_n,\bar{l}_m]=(m-n)\bar{l}_{m+n}　、　[l_n,\bar{l}_m]=0\tag{71}
\end{equation}

特に生成子$\{l_{-1},l_0,l_1\}$とその複素共役は有限次元の部分代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$を生成する。この部分代数は大域的な共形変換に対応している。$K_\mu$、$P_\mu$、$D$はそれぞれ$l_{-1}$、$l_0$、$l_1$に対応している。また、今、
\[
\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\sim\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\sim A=\left(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
\right)~(a,b,c,d\in\mathbb{C}~\mathrm{and}~\mathrm{det}A=1)
\]という構造になっている。この部分集合は共形変換と同等であり、(52)で与えられるような$2$次元以上の場合でも存在している。その他の全ての$n$において、この変換は局所的な共形変換になる。これらは高次元において、対応物を何も有していない。

生成子$l_n$とその交換関係のみを考えよう。量子論において、対応する演算子$L_n$は次のように、僅かに異なる交換関係を満たす。

\begin{equation}
[L_n,L_m]=(m-n)L_{m+n}+\dfrac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}\tag{72}
\end{equation}

これはVirasoro 代数として知られている。ここで、係数$c$は中心電荷と呼ばれるものである。交換関係(72)における付加項は量子効果であり、他の全ての演算子$L_n$と自明に交換するような恒等演算子$I$が掛かっている。従って、Virasoro 代数は代数(71)の中心拡大であると言われる。