$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$

Pauli-Lubanski ベクトルの性質

ここでPoincare 群とPauli-Lubanski ベクトルの定義と性質及びその証明をまとめておくことにする。

Poincare 群とPauli-Lubanski ベクトルに関する諸性質

$P_\rho$を並行移動の生成子（運動量）、$S_i$を空間の角運動量、$J^{\mu\nu}$をLorentz 変換の生成子とする。$J^{\mu\nu}$は$J^{\mu\nu}\coloneqq i(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)+A^{\mu\nu}$である。例えば、考えている場がスピノールなら、(19)に従って$A^{\mu\nu}=\mathcal{J}^{\mu\nu}$となる。他の本では$A^{\mu\nu}$ではなく$S^{\mu\nu}$となっていることが多いが、$S^i$と混同しないようにここでは$A^{\mu\nu}$とした。

次に、Pauli-Lubanski ベクトル$W^\sigma$を用意しよう。$W$をウェッジ積$\wedge$とHodge 双対${}^*$を用いて$W\coloneqq{}^*(J\wedge P)$と定義する。このとき、座標基底を用いて
$$J\coloneqq\dfrac{1}{2}J_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu　、　P\coloneqq P_\rho dx^\rho$$
としておく。すると、$J\wedge P$及び${}^*(J\wedge P)$はそれぞれ
$$J\wedge P=\dfrac{1}{2}J_{\mu\nu}P_\rho dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho$$
$${}^*(J\wedge P)=\dfrac{1}{2}J_{\mu\nu}P_\rho\underbrace{{}^*(dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho)}_{={\epsilon^{\mu\nu\rho}}_{\sigma}dx^\sigma}=\dfrac{1}{2}J_{\mu\nu}P_\rho{\epsilon^{\mu\nu\rho}}_{\sigma}dx^\sigma=:W_\sigma dx^\sigma$$
となる。これによりPauli-Lubanski ベクトルの定義が完了した。

• (1)$P_\rho$と$J_{\mu\nu}$の関係式；
  $[P_\rho,J_{\mu\nu}]=i(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)$
• (2)$P^2$がCasimir 演算子であること；
  $[P^\mu P_\mu,P^\rho]=[P^\mu P_\mu,J_{\nu\lambda}]=0$}
• (3)Pauli-Lubanski ベクトルがHermitian であること；
  $(W^\sigma)^\dagger=W^\sigma$}
• (4)Pauli-Lubanski ベクトルが運動量演算子と可換であること；
  $[W^\sigma,P^\rho]=0$}
• (5)Pauli-Lubanski ベクトルと運動量演算子の内積が$0$であること；
  $P_\sigma W^\sigma=0$}
• (6)$W_\sigma$と$J_{\mu\nu}$の関係式；
  $[W_\sigma,J_{\mu\nu}]=i(\eta_{\mu\sigma}W_\nu-\eta_{\nu\sigma}W_\mu)$
• (7)$W^2$がCasimir 演算子であること；
  $[W^\mu W_\mu,P^\rho]=[W^\mu W_\mu,J_{\nu\lambda}]=0$
• (8)Pauli-Lubanski ベクトルが軌道角運動量に依らないこと；
  $W^\sigma=-\dfrac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\mu\nu}\partial_\rho$
• (9)Pauli-Lubanski ベクトルの時間成分と空間成分；
  $$W^\sigma=(W^0,W^i)=\left(P_iS^i,-P_0S^i+\dfrac{1}{2}\epsilon^{ij\rho\sigma}P_jJ_{\rho\sigma}\right)~(i,j,k=1,2,3)$$
• (10)空間の角運動量$S_i$と$4$元運動量の時間成分$P^0$が可換であること；
  $[S^i,P_0]=0$
• (11)$p^\mu=(m,0,0,0)$のとき、$W^2$の固有値が$m^2s(s+1)$であること；
  $W^\sigma W_\sigma=P_0^2S^iS_i$
• (12)$P^\sigma P_\sigma=W^\sigma W_\sigma=P^\sigma W_\sigma=0$ならば、運動量ベクトルとPauli-Lubanski ベクトルが平行であること

証明

次のようにそれぞれ示す。

(1)
$$\begin{align} [P_\rho,J_{\mu\nu}]=&[-i\partial_\rho,i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+A_{\mu\nu}]=[\partial_\rho,x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu]+\underbrace{[\partial_\rho,A_{\mu\nu}]}_{=0}\nonumber\\ =&\partial_\rho(x_\mu\partial_\nu)-\partial_\rho(x_\nu\partial_\mu)-x_\mu\partial_\nu\partial_\rho+x_\nu\partial_\mu\partial_\rho=(\partial_\rho x_\mu)\partial_\nu-(\partial_\rho x_\nu)\partial_\mu\nonumber\\ =&\delta^\mu_\rho\partial_\nu-\delta^\nu_\rho\partial_\mu=\eta^{\mu\lambda}\eta_{\lambda\rho}\partial_\nu-\eta^{\nu\lambda}\eta_{\lambda\rho}\partial_\mu=\eta_{\mu\rho}\partial_\nu-\eta_{\nu\rho}\partial_\mu=i(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)\nonumber\\ \end{align}$$

(2)
$[P^\mu P_\mu,P^\rho]=0$は自明。もう片方の等式は次のように示せる。
$$\begin{align} [P^\mu P_\mu,J_{\nu\lambda}]=&P^\mu[P_\mu,J_{\nu\lambda}]+[P^\mu,J_{\nu\lambda}]P_\mu\nonumber\\ =&P^\mu\times i(\eta_{\nu\mu}P_\lambda-\eta_{\lambda\mu}P_\nu)+i(\eta^\mu_\nu P_\lambda-\eta^\mu_\lambda P_\nu)\times P_\mu\nonumber\\ =&i(P_\nu P_\lambda-P_\lambda P_\nu+P_\lambda P_\mu-P_\nu P_\lambda)=0\nonumber \end{align}$$

(3)
$$\begin{align} (W^\sigma)^\dagger=&\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\underbrace{P^\dagger_\rho J^\dagger_{\mu\nu}}_{=P_\rho J_{\mu\nu}}=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(J_{\mu\nu}P_\rho+[P_\rho,J_{\mu\nu}])\nonumber\\ =&W^\sigma+\underbrace{\dfrac{1}{2}i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)}_{反対称なテンソルと対称なテンソルの縮約なので0になる（以後断らない。）。}=W^\sigma\nonumber \end{align}$$

(4)
$$\begin{align} [W^\sigma,P^\rho]=&\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}[J_{\mu\nu}P_\lambda,P^\rho]\nonumber\\ =&\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}(J_{\mu\nu}\underbrace{[P_\lambda,P^\rho]}_{=0}+\underbrace{[J_{\mu\nu},P^\rho]}_{=-i(\eta^\rho_\mu P_\nu-\eta^\rho_\nu P_\mu)}P_\lambda)=\dfrac{i}{2}(\epsilon^{\mu\rho\lambda\sigma}P_\mu-\epsilon^{\rho\nu\lambda\sigma}P_\nu)P_\lambda=0\nonumber \end{align}$$

(5)
$$P_\sigma W^\sigma=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}P_\sigma J_{\mu\nu}P_\rho=0$$

(6)
$P^\sigma W_\sigma=0$を利用して題意を示す。
$$0=[P^\sigma W_\sigma,J_{\mu\nu}]=P^\sigma[W_\sigma,J_{\mu\nu}]+[P^\sigma,J_{\mu\nu}]W_\sigma$$
なので、これより
$$P^\sigma[W_\sigma,J_{\mu\nu}]=-[P^\sigma,J_{\mu\nu}]W_\sigma=P^\sigma(i\eta_{\mu\sigma}W_\nu-i\eta_{\nu\sigma}W_\mu)$$
従って、以下の式が成り立つことが示された。
$$[W_\sigma,J_{\mu\nu}]=i(\eta_{\mu\sigma}W_\nu-\eta_{\nu\sigma}W_\mu)$$

(7)
$[W^\sigma,P^\rho]=0$なので$[W^\sigma W_\sigma,P^\rho]=0$は自明。もう片方の等式は次のように示せる。
$$\begin{align} [W^\sigma W_\sigma,J_{\nu\lambda}]=&W^\sigma[W_\sigma,J_{\nu\lambda}]+[W^\sigma,J_{\nu\lambda}]W_\sigma=iW^\sigma(\eta_{\nu\sigma}W_\lambda-\eta_{\lambda\sigma}W_\nu)\nonumber\\ &+i(\eta^\sigma_\nu W_\lambda-\eta^\sigma_\lambda W_\nu)W_\sigma=i(W_\nu W_\lambda-W_\lambda W_\nu+W_\lambda W_\nu-W_\nu W_\lambda)=0\nonumber \end{align}$$

(8)
$$\begin{align} W^\sigma=&\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}J_{\mu\nu}P_\rho=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\{P_\rho J_{\mu\nu}-i(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)\}\nonumber\\ =&\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(-i\partial_\rho)\{i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+A_{\mu\nu}\}-\dfrac{i}{2}\underbrace{\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)}_{=0}\nonumber\\ =&\underbrace{\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\eta_{\mu\rho}\partial_\nu+x_\mu\partial_\rho\partial_\nu-\eta_{\nu\rho}\partial_\mu-x_\nu\partial_\rho\partial_\mu)}_{=0}-\dfrac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\underbrace{\partial_\rho A_{\mu\nu}}_{=A_{\mu\nu}\partial_\rho}=-\dfrac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\mu\nu}\partial_\rho\nonumber \end{align}$$

(9)
$$W^0=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho0}J_{\mu\nu}P_{\rho}=\dfrac{1}{2}\epsilon^{ijk0}J_{jk}P_i=P_iS^i$$
$$W^i=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho i}J_{\mu\nu}P_\rho=\dfrac{1}{2}\underbrace{\epsilon^{\mu\nu0i}}_{=\epsilon^{0i\mu\nu}}J_{\mu\nu}P_0=P_0S^i+\dfrac{1}{2}\underbrace{\epsilon^{\mu\nu ji}}_{=-\epsilon^{ij\mu\nu}}J_{\mu\nu}P_j=P_0S^i-\dfrac{1}{2}\epsilon^{ij\mu\nu}J_{\mu\nu}P_j$$

(10)
$$[S^i,P_0]=\dfrac{1}{2}\epsilon^{0ijk}\underbrace{[J_{jk},P_0]}_{=-i\eta_{j0}P_k+i\eta_{k0}P_j}=0$$

(11)今、$W^\sigma=(0,P_0S^i)$より、
$$W^\sigma W_\sigma=P_0S^iP_0S_i=m^2S^iS_i$$

(12)運動方向を$x$軸の向きに取ると$P^\sigma=(P^0,P^1,0,0)$とすることが出来る。$P^\sigma P_\sigma=0$より$(P^0)^2=(P^1)^2$なので、$P^\sigma=(P^0,\pm P^0,0,0)$となる。

一方、$P^\sigma W_\sigma=0$より$0=P^\sigma W_\sigma=-P_0W_0+P_1W_1=-P_0W_0\pm P_0W_1$なので、$W_1=\pm W_0$となることが分かる。

そして、$W^\sigma W_\sigma=0$より$-(W^0)^2+(W^0)^2+(W^2)^2+(W^3)^2=0$なので、$W^2=W^3=0$となることが分かる。

以上より、$P^\sigma=(P^0,\pm P^0,0,0)$、$W^\sigma=(W^0,\pm W^0,0,0)$なので$P$と$W$は比例することが言えた。これは直観的に言えば、$2$つのヌルベクトルは内積が$0$ならば平行であるということである。