$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習10

今回は三重積分の問題演習をしましょう。

要点のまとめ

直交座標$(x,y,z)$が$x=r\cos{\varphi}\sin{\theta},y=r\sin{\varphi}\sin{\theta},z=r\cos{\theta}$によって極座標$(r,\theta,\varphi)$に変換されたとして、$\{(r,\theta,\varphi)|0\leq r,0\leq \theta\leq \pi,0\leq \varphi \leq 2\pi\}$の内部にある有界な閉領域$W$が$xyz$空間内の有界な閉領域$V$に写されるものとします。このとき、$V$上の連続な関数$f(x,y,z)$に対して以下の式が成り立ちます。
\[
\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = \iiint_W f(r\cos{\varphi}\sin{\theta},r\sin{\varphi}\sin{\theta},r\cos{\theta}) r^2\sin{\theta}~dr d\theta d\varphi
\]

問題10

次の領域$D$に関する重積分を計算しなさい。

(1)
\[
\iiint_V dxdydz,~V=\{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\leq4 \}
\]

(2)
\[
\iiint_V z dxdydz,~V=\{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\leq1 \}
\]

(3)
\[
\iiint_V x^2 dxdydz,~V=\{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\leq1,0\leq x,0\leq y,0\leq z \}
\]

(4)
\[
\iiint_V xyz dxdydz,~V=\{(x,y,z)| x^2+y^2+z^2\leq4,0\leq x,0\leq y,0\leq z \}
\]

解答10

(1)
座標$(x,y,z)がx=r\sin{\theta } \cos{\varphi }, y=r\sin{\theta }\sin{\varphi },z=r\cos{\theta }$によって極座標$(r,\theta ,\varphi )$に変換されたことによって、$\{(r,\theta ,\varphi )|0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi \leq 2\pi\}$の内部にある有界閉領域Wが先の有界閉領域$V$に写されるとすれば
\[
\iiint_{V} dxdydz=\iiint_{W} r^2\sin{\theta} drd\theta d\varphi=\int^{2\pi}_{0}\left\{\int^{2}_{0}\left(\int^{\pi}_{0}r^2\sin{\theta}d\theta \right)dr\right\}d\varphi
\]

(2)
(1)と同様の座標変換によって, $\{(r,\theta ,\varphi )|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi \leq 2\pi\}$の内部にある有界閉領域$W$が先の有界閉領域$V$に写されるとすれば
\[
\iiint_{V} z^2 dxdydz=\iiint_{W} r^4\cos^2{\theta }\sin{\theta } drd\theta d\varphi=\int^{2\pi}_{0}\left\{\int^{1}_{0}\left(r^4\int^{\pi}_{0}\cos^2{\theta }\sin{\theta }d\theta \right)dr\right\}d\varphi
\]
\[
=\frac{2}{15}\int^{2\pi}_{0}d\varphi=\frac{4}{15}\pi
\]

(3)
(1)と同様の座標変換によって, $\left\{(r,\theta ,\varphi)|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \displaystyle\frac{\pi}{2} ,0\leq \varphi \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}$の内部にある有界閉領域$W$が先の有界閉領域$V$に写されるとすれば
\[
\iiint_{V} x^2 dxdydz=\iiint_{W} r^4\sin^3{\theta } drd\theta d\varphi=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left\{\int^{1}_{0}\left(r^4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^3{\theta }d\theta \right)dr\right\}d\varphi　\cdots (*)
\]
\[
\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^3{\theta }d\theta=\Bigl[-\cos{\theta}\sin^2{\theta}\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}+\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta =\frac{2}{3}
\]
よって($*$)は
\[
\iiint_{V} x^2 dxdydz=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(\int^{1}_{0}\frac{2}{3}r^4dr\right)d\varphi =\frac{\pi}{15}
\]

(4)
(1)と同様の座標変換によって, $\left\{(r,\theta ,\varphi)|0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \displaystyle\frac{\pi}{2} ,0\leq \varphi \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}$の内部にある有界閉領域$W$が先の有界閉領域$V$に写されるとすれば
\[
\iiint_{V} xyz dxdydz=\iiint_{W} r^5\sin^3{\theta }\cos{\theta }\sin{\varphi }\cos{\varphi } drd\theta d\varphi
\]

\[
=\int^{2}_{0}\left\{\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(r^5\sin{\varphi }\cos{\varphi }\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^3{\theta}\cos{\theta}d\theta \right)d\varphi \right\}dr
\]
\[
=\int^{2}_{0}\left(\frac{1}{8}r^5\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin{2\varphi}d\varphi \right)dr=\frac{2^6}{12}\times \frac{1}{4}=\frac{4}{3}
\]