$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習11

今回は曲面積の問題演習をしましょう。

要点のまとめ

以下、微分可能性を議論するのは面倒なので、スカラー関数やベクトル関数は全て滑らかであると仮定します。物理や工学での応用上はこれで充分です。また、定義域も空間全体$\bm{R}^3$とします。

$uv$平面内の有界な$D$上で定義された$C^1$級のベクトル値関数$\bm{r}(u,v)$で与えられる向きづけられた曲面を$S$とし、$S$の面積要素を$dS$とおく。このとき曲面積$|S|$は以下の式で与えられます。
\[
|S| = \iint_D\left|\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial v}\right|dudv
\]

また、$xy$平面内の有界な領域$D$上で定義された$C^1$級の関数$z=f(x,y)$で与えられる向きづけられた曲面$S$の面積$|S|$は以下で与えられます。
\[
|S| = \iint_D \sqrt{1+\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2}dxdy
\]

問題11

(1)
トーラス面$(x-R)^2+z^2=r^2$の曲面積を求めよ。

(2)
曲面$z=\tan^{-1}\frac{y}{x}$の$x^2+y^2\geq1,0\leq x,0\leq y$の部分の曲面積を求めよ。

解答11

(1)
\[
\bm{r}(u,v)=\left(
\begin{array}{c}
(R+r\cos{u})\cos{v}\\
(R+r\cos{u})\sin{v}\\
r\sin{u}\\
\end{array}
\right)　　\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}\right|=(R+r\cos{u})r
\]
であったので、求める曲面積$|S|$は
\[
\int^{2\pi}_{0}\left\{\int^{\pi}_{0}(R+r\cos{u})rdu\right\}dv=2\pi^2Rr
\]

(2)
今、標準座標$(x,y)$が$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$によって極座標$(r,\theta)$に変換されたことによって、$\left\{(r,\theta)|0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\}$の内部にある有界閉領域$E$が$xy$平面内の有界閉領域$D$に写されるとすれば、求める曲面積$|S|$は
\[
|S|=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dx dy=\iint_{E}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2 +\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2}\times r dr d\theta
\]
\[
=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(\int^{1}_{0}r dr\right)d\theta =\frac{\pi}{4}
\]