$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習9

今回は二重積分の積分変数を極座標に変更する場合の問題演習をしましょう。

要点のまとめ

直交座標$(x,y)$が$x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}$によって極座標$(r,\theta)$に変換されたとして、$\{(r,\theta)|0\leq r,0\leq \theta\leq 2\pi\}$の内部にある有界な閉領域$E$が$xy$平面内の有界な閉領域$D$に写されるものとします。このとき、$D$上の連続な関数$f(x,y)$に対して以下の式が成り立ちます。
\[
\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_Ef(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) r~dr d\theta
\]

問題9

次の領域$D$に関する重積分を計算しなさい。

(1)
\[
\iint_D e^{x^2+y^2} dxdy,~D=\{(x,y)| x^2+y^2 \leq4 \}
\]

(2)
\[
\iint_D xy dxdy,~D=\{(x,y)| x^2+y^2\leq4, 0\leq x,0\leq y \}
\]

(3)
\[
\iint_D (x^2-y^2) dxdy,~D=\{(x,y)| x^2+y^2 \leq1,0\leq y\leq x\}
\]

(4)
\[
\iint_D (x+y)^2 dxdy,~D=\{(x,y)| x^2+y^2\leq9 \}
\]

(5)
\[
\iint_D \dfrac{dxdy}{x^2+y^2},~D=\{(x,y)|4\leq x^2+y^2\leq9,0\leq y \}
\]

(6)
\[
\iint_D \dfrac{dxdy}{(x^2+y^2)^2},~D=\{(x,y)|1\leq x^2+y^2\leq 4 \}
\]

(7)
\[
\iint_D \tan^{-1}\dfrac{y}{x} dxdy,~D=\{ (x,y)|1\leq x^2+y^2,0\leq x,0\leq y \}
\]

解答9

(1)
座標$(x,y)$が$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$によって極座標$(r,\theta )$に変換されたことによって、$\{(r,\theta )|0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq 2\pi\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} \mathrm{e}^{x^2+y^2} dxdy=\iint_{E} r\mathrm{e}^{r^2} drd\theta =\int^{2\pi}_{0}\left(\int^{2}_{0}r\mathrm{e}^{r^2}dr\right)d\theta =\pi(\mathrm{e}^4-1)
\]

(2)
(1)と同様の座標変換によって、$\{(r,\theta )|0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \pi\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} xy dxdy=\iint_{E} r^3\sin{\theta}\cos{\theta} drd\theta =\frac{1}{2}\int^{2}_{0}r^3\left[\frac{-\cos{2\theta}}{2}\right]^{\pi}_{0}dr=2
\]

(3)
(1)と同様の座標変換によって、$\left\{(r,\theta )|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \displaystyle\frac{\pi}{4}\right\}$の内部にある有界閉領域Eが先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} (x^2-y^2) dxdy=\iint_{E} r^3\cos{2\theta } drd\theta =\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\left(\int^{1}_{0}r^3\cos{2\theta }dr\right)d\theta =\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{4}\cos{2\theta }d\theta =\frac{1}{8}
\]

(4)
(1)と同様の座標変換によって、$\{(r,\theta )|0\leq r\leq 3, 0\leq \theta \leq 2\pi\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} (x+y)^2 dxdy=\iint_{E} r^3(1+\sin{2\theta } drd\theta =\int^{2\pi}_{0}\left\{\int^{3}_{0}r^3(1+\sin{2\theta })dr\right\}dt=\frac{81}{4}\int^{2\pi}_{0}(1+\sin{2\theta })d\theta =\frac{81}{2}\pi
\]

(5)
(1)と同様の座標変換によって、$\{(r,\theta )|2\leq r\leq 3, 0\leq \theta \leq \pi\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} \frac{1}{x^2+y^2} dxdy=\iint_{E} \frac{1}{r} drd\theta =\int^{\pi}_{0}\left(\int^{3}_{2}\frac{1}{r}dr\right)d\theta =\pi\log{\frac{3}{2}}
\]

(6)
(1)と同様の座標変換によって、$\{(r,\theta )|1\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq 2\pi\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy=\iint_{E} \frac{1}{r^3} drd\theta =\int^{2\pi}_{0}\left(\int^{2}_{1}\frac{1}{r^3}dr\right)\theta =\int^{2\pi}_{0}\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-1\right)\right\}d\theta =\frac{3}{4}\pi
\]

(7)
(1)と同様の座標変換によって、$\left\{(r,\theta )|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}$の内部にある有界閉領域$E$が先の有界閉領域$D$に写されるとすれば
\[
\iint_{D} \tan^{-1}{\frac{y}{x}} dxdy=\iint_{E} r\arctan{(\tan{\theta })} drd\theta =\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\theta \left(\int^{1}_{0}rdr\right)d\theta =\frac{\pi^2}{8}
\]