$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習4

今回は前回に引き続き、ベクトル解析における曲面の法ベクトルを計算する練習をしましょう。

要点のまとめ（再掲）

2変数のベクトル値関数$\bm{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$を考えます。$n$変数の場合も同様に拡張します。

このとき、$u,v$のベクトル値関数$\bm{r},\bm{r}_1,\bm{r}_2$、$u,v$の関数$f$、スカラー$\lambda,\mu$に対して、以下の式がそれぞれ成り立ちます。
\[
\dfrac{\partial}{\partial u}(\lambda\bm{r}_1+\nu\bm{r}_2)=\lambda\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial u}+\mu\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}~~~,~~~\dfrac{\partial}{\partial u}(f\bm{r})=\dfrac{\partial f}{\partial u}\bm{r}+f\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial u}
\]

\[
\dfrac{\partial}{\partial u} (\bm{r}_1\cdot\bm{r}_2) = \dfrac{\partial\bm{r}_1}{\partial u}\cdot\bm{r}_2 + \bm{r}_1\cdot\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}~~~,~~~\dfrac{\partial}{\partial u} (\bm{r}_1\times\bm{r}_2) = \dfrac{\partial\bm{r}_1}{\partial u}\times\bm{r}_2 + \bm{r}_1\times\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}
\]

\[
\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial s} = \dfrac{\partial u}{\partial s}\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u} + \dfrac{\partial v}{\partial s}\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}~~~,~~~\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial s}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial t} = \dfrac{\partial (u,v)}{\partial (s,t)}\left( \dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v} \right)
\]

また、2変数ベクトル値関数$\bm{r}(u,v)$が与える曲面を$S$とすると、$\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}$は$S$の各点で$S$の法ベクトルになります。
\[
\bm{n} = \dfrac{\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}}{\left|\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}\right|}
\]
とおくと、$\bm{n}$は$S$の点$P$における単位法ベクトルで、$\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}$と同じ向きのものです。単位法ベクトルは$\pm\bm{n}$で与えられます。

問題4

$x=3\sin{\theta}\cos{\varphi},~y=2\sin{\theta}\sin{\varphi},~z=\cos{\theta},~0 < \theta < \pi,~0 < \varphi < 2\pi$で表される曲面に対し、$(\theta,\varphi)=(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})$における単位法ベクトルを求めよ。

解答4

この曲面の単位法ベクトルは$\bm{r}(\theta,\varphi)=\Bigl(x(\theta,\varphi),y(\theta,\varphi),z(\theta,\varphi)\Bigr)$とおけば、$(\theta, \varphi)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{3},\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$であることから
\[
\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}=(3\cos{\theta}\cos{\varphi},2\cos{\theta}\sin{\varphi},-\sin{\theta})　,　
\frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}=(-3\sin{\theta}\sin{\varphi},2\sin{\theta}\cos{\varphi},0)
\]
\[
\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}=
\left(
\begin{array}{c}
2\sin^2{\theta}\cos{\varphi}\\
3\sin^2{\theta}\sin{\varphi}\\
3\sin{2\theta}\\
\end{array}
\right)=
\left(\frac{3\sqrt{2}}{4},\frac{9\sqrt{2}}{8},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)　,　
\Bigl|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}\Bigr|=\frac{3\sqrt{37}}{4\sqrt{2}}
\]
従って与えられた条件における単位法ベクトルは
\[
\pm\frac{1}{\sqrt{37}}
\left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
2\sqrt{6}\\
\end{array}
\right)
\]