$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習2

今回はベクトル解析の空間曲線に関する外積計算の問題演習をしましょう。

要点のまとめ

ここでは、微分や偏微分が可能な関数のみを考えます。

変数$t$（物理では時間であることが多い）に依存して決まるベクトル$\bm{r}(t)$を変数$t$のベクトル値関数と言います。空間内のベクトル値関数は$\bm{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$と表せます。各成分にスカラー関数が入っていると思えば良いだけです。ベクトル値関数$\bm{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$の微分を$\dot{\bm{r}}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$と定義します。高階の微分も同様に定義します。

このとき、ベクトル値関数$\bm{u}(t),\bm{v}(t)$、関数$f(t)$、スカラー$\lambda,\mu$について以下が成り立ちます。
$$\dfrac{d}{dt}(\lambda\bm{u}+\mu\bm{v})=\lambda\dot{\bm{u}}+\mu\dot{\bm{v}},~\dfrac{d}{dt}(\bm{u}\cdot\bm{v})=\dot{\bm{u}}\cdot\bm{v}+\bm{u}\cdot\dot{\bm{v}},$$
$$\dfrac{d}{dt}(\bm{u}\times\bm{v})=\dot{\bm{u}}\times\bm{v}+\bm{u}\times\dot{\bm{v}},~\dfrac{d}{dt}(f\bm{v})=f’\bm{v}+f\dot{\bm{v}}$$

また、ベクトル値関数$\bm{r}(t)$と変数変換$t=t(u)$との合成関数$\bm{r}(t(u))$の微分に関して、$\dfrac{d\bm{r}}{du}=\dfrac{dt}{du}\dfrac{d\bm{r}}{dt}$も成り立ちます。

問題2

(1)
空間内の円運動$\bm{r}(t)=(a\cos{\omega t},a\sin{\omega t},0)$($a,\omega$は正の定数)に対し、$\bm{r}\cdot\dot{\bm{r}},~\dot{\bm{r}}\cdot\ddot{\bm{r}},~\dot{\bm{r}}\times\ddot{\bm{r}}$を求めよ。

(2)
空間曲線$x=3\cos{t},~y=3\sin{t},~z=4t$の単位接ベクトルを求めよ。

(3)
空間曲線$x=t^2,~y=t,~z=1$の単位接ベクトルを求めよ。

(4)
空間曲線$x=t,~y=t^2,~z=\frac{2}{3}t^3$の単位接ベクトルを求めよ。

解答2

(1)
$$\bm{r}(t)=\left( \begin{array}{c} a\cos{\omega t}\\ a\sin{\omega t}\\ 0\\ \end{array} \right)　,　 \bm{\dot{r}}(t)=\left( \begin{array}{r} -a\omega\sin{\omega t}\\ a\omega\cos{\omega t}\\ 0　　\\ \end{array} \right)　,　 \bm{\ddot{r}}(t)=\left( \begin{array}{r} -a\omega^2\cos{\omega t}\\ -a\omega^2\sin{\omega t}\\ 0　　\\ \end{array} \right)$$
より
$$\bm{r}\cdot\bm{\dot{r}}=0　,　\bm{\dot{r}}\cdot\bm{\ddot{r}}=0　,　 \bm{\dot{r}}\times\bm{\ddot{r}}=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ a^2\omega^3\\ \end{array} \right)$$

(2)
$$\dot{\bm{r}}=(-3\sin{t},3\cos{t},4)　,　|\bm{\dot{r}}|=5$$ 　
よって求める単位接ベクトルは　 $$\pm\frac{1}{5}(-3\sin{t},3\cos{t},4)$$

(3)

$$\dot{\bm{r}}=(2t,1,0)　,　|\bm{\dot{r}}|=\sqrt{4t^2+1}$$
よって求める単位接ベクトルは　 $$\pm\frac{1}{\sqrt{4t^2+1}} (2t,1,0)$$

(4)

$$\dot{\bm{r}}=(1,2t,2t^2)　,　|\bm{\dot{r}}|=\frac{1}{2t^2+1}$$
よって求める単位接ベクトルは　 $$\pm\frac{1}{2t^2+1} (1,2t,2t^2)$$