$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習3

今回はベクトル値関数の偏微分と曲面の法ベクトルについて問題演習をしましょう。

要点のまとめ

2変数のベクトル値関数$\bm{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$を考えます。$n$変数の場合も同様に拡張します。

このとき、$u,v$のベクトル値関数$\bm{r},\bm{r}_1,\bm{r}_2$、$u,v$の関数$f$、スカラー$\lambda,\mu$に対して、以下の式がそれぞれ成り立ちます。
\[
\dfrac{\partial}{\partial u}(\lambda\bm{r}_1+\nu\bm{r}_2)=\lambda\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial u}+\mu\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}~~~,~~~\dfrac{\partial}{\partial u}(f\bm{r})=\dfrac{\partial f}{\partial u}\bm{r}+f\dfrac{\partial\bm{r}}{\partial u}
\]

\[
\dfrac{\partial}{\partial u} (\bm{r}_1\cdot\bm{r}_2) = \dfrac{\partial\bm{r}_1}{\partial u}\cdot\bm{r}_2 + \bm{r}_1\cdot\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}~~~,~~~\dfrac{\partial}{\partial u} (\bm{r}_1\times\bm{r}_2) = \dfrac{\partial\bm{r}_1}{\partial u}\times\bm{r}_2 + \bm{r}_1\times\dfrac{\partial\bm{r}_2}{\partial u}
\]

\[
\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial s} = \dfrac{\partial u}{\partial s}\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u} + \dfrac{\partial v}{\partial s}\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}~~~,~~~\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial s}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial t} = \dfrac{\partial (u,v)}{\partial (s,t)}\left( \dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u} \times \dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v} \right)
\]

また、2変数ベクトル値関数$\bm{r}(u,v)$が与える曲面を$S$とすると、$\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}$は$S$の各点で$S$の法ベクトルになります。
\[
\bm{n} = \dfrac{\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}}{\left|\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}\right|}
\]
とおくと、$\bm{n}$は$S$の点$P$における単位法ベクトルで、$\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \bm{r}}{\partial v}$と同じ向きのものです。単位法ベクトルは$\pm\bm{n}$で与えられます。

問題3

$xz$平面の円周$(x-R)^2+z^2=r^2$($r,R$は$0 < r < R$を満たす定数)を$z$軸の周りに1回転させてできる曲面（トーラス面）を考える。これは閉曲面である。
(1)
この曲面上の任意の点$(x,y,z)$に対する$u,v$を適切に設定することで、
\[
x=(R+r\cos{u})\cos{v},~y=(R+r\cos{u})\sin{v},~z=r\sin{u},~0< u < 2\pi,~0 < v < 2\pi \] という曲面のパラメーター表示が得られることを説明せよ。
(2)
この曲面の単位法ベクトルを求めよ。

解答3

(1)
$(x-R)^2+z^2=r^2$は半径$r$、中心$(x,z)=(R,0)$の円周なので$y$軸に垂直な円周である。簡単のため$z$軸の周りで回転させる前の円周について$xy$平面上で考えてみる。今、円周上に点Pを設け、線分PRと$x$軸によってつくられる角のうち角度が小さいほうの角を$u$とおく。
そうすると点$P(x,y,z)$は$(x,y,z)=(R+r\cos{u}, 0, r\sin{u})$と表せる。

ところがこの円周は今$y=0$であるが、$z$軸の周りに円周を回転させるので常に$x=R+r\cos{u} , y=0$とは限らない。
今、$xy$平面上にできた円は半径が$R+r\cos{u}$であるし、点Pの$z$成分は時間に依らず常に$r\sin{u}$である。
従って先に定めた$u$に加えて新たに線分OPと$x$軸によってできる角のうち角度の小さい角を$v$とおけば
\[
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
(R+r\cos{u})\cos{v}\\
(R+r\cos{u})\sin{v}\\
r\sin{u}\\
\end{array}
\right)　
\]
と確かに表せる。

(2)

\[
\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}=\left(\frac{\partial x(u,v)}{\partial u},\frac{\partial y(u,v)}{\partial u},\frac{\partial z(u,v)}{\partial u}\right)=(-r\sin{u}\cos{v},-r\sin{u}\sin{v},r\cos{u})
\]
\[
\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}=\left(\frac{\partial x(u,v)}{\partial v},\frac{\partial y(u,v)}{\partial v},\frac{\partial z(u,v)}{\partial v}\right)=(-(R+r\cos{u})\sin{v},(R+r\cos{u})\cos{v},0)
\]
従って
\[
\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}=(R+r\cos{u})r\left(
\begin{array}{c}
\cos{u}\cos{v}\\
\cos{u}\sin{v}\\
\sin{u}\\
\end{array}
\right)　,　
\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}\right|=(R+r\cos{u})r
\]
よって求める単位法ベクトルは
\[
\pm\frac{\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \bm{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}\right|}=\pm
\left(
\begin{array}{c}
\cos{u}\cos{v}\\
\cos{u}\sin{v}\\
\sin{u}\\
\end{array}
\right)
\]