ベクトル解析演習6
今回は重積分の計算練習をしましょう。
要点のまとめ
もし閉領域Dが{(x,y)|a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}と{(x,y)|c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}の2通りであらわせるとしたら、
∫ba{∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy}dx=∫dc{∫ψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx}dy
です。これを積分順序の変更と言います。
問題6
次の領域Dに関する重積分を計算しなさい。
(1)
∬Ddxdy(1+y2)(3+x), D={(x,y)|1≤x≤2,1≤y≤√3}
(2)
∬Dsin(x+y)dxdy, D={(x,y)|0≤x≤π6,x≤y≤2x}
(3)
∬D(x2+2xy)dxdy, D={(x,y)|0≤x≤3y,0≤y≤2}
(4)
∬Dy√xdxdy, D={(x,y)|x+y≤1,0≤x,0≤y}
(5)
∬D(1+xy)dxdy, D={(x,y)|x2≤y≤x}
(6)
∬D√x−ydxdy, D={(x,y)|0≤y≤x−x2}
(7)
∬Dsqrtx2−ydxdy, D={(x,y)|x2≤y,0≤x,y≤8−x2}
解答6
(1)
∬Ddx(y2+1)(3+x)dxdy=∫√31{∫21dx(y2+1)(3+x)}dy=log54∫√31dy(y2+1)=π12log54
(2)
∬Dsin(x+y)dxdy=∫π60{[−cos(x+y)]y=2xy=x}dx=[12sin2x−13sin3x]π60=√34−13
(3)
∬D(x2+2xy)dxdy=∫20{∫3y0(x2+2xy)dx}dy=∫2018y3dy=72
(4)
D={(x,y)|=0≤x≤1,0≤y≤1−x}
従って
∬Dy√xdxdy=∫10{∫1−x0y√xdy}dx=∫10{12√x(1−x)2}dx=8105
(5)
今、x−y≥0,0≤y≤x−x2=x(1−x)より、D={(x,y)|=0≤x≤1,x2≤y≤x}
従って
∬D(1+xy)dxdy=∫10{∫xx2(1+xy)dy}dx=∫10(−12x5+12x3−x2+x)dx=524
(6)
今、x−y≥0,0≤y≤x−x2=x(1−x)より0≤x≤1
従って
∬D√x−ydxdy=∫10(∫x−x20√x−ydy)dx=∫10{[−23(x−y)32]y=x−x2y=0}dx=110
(7)
D={(x,y)|=0≤x≤2,x2≤y≤8−x2}
従って
∬D√x2+ydxdy=∫20{∫8−x2x2(x2+y)12dy}dx=∫20[23(x2+y)32]y=8−x2y=x2dx
=∫20(323√2−43√2x3)dx=[323√2x−13√2x4]20=16√2
