ベクトル解析演習7
今回は前回に引き続き重積分の計算練習をしましょう。
要点のまとめ
もし閉領域Dが{(x,y)|a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}と{(x,y)|c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}の2通りであらわせるとしたら、
∫ba{∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy}dx=∫dc{∫ψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx}dy
です。これを積分順序の変更と言います。
問題7
次の領域Dに関する重積分を計算しなさい。
(1)
∬Dxydxdy
Dはy=x,y=−x2+2で囲まれた閉領域とする。
(2)
∬Dx2y2dxdy
Dはx=2,y=x,xy=1で囲まれた閉領域とする。
(3)
∬D(2x−y)dxdy
Dはx−y=1,x+y=1,y=1で囲まれた閉領域とする。
(4)
∬Ddxdy1+x2, D={(x,y)|0≤x≤y≤1}
(5)
∬D√2y−xdxdy, D={(x,y)|x+y≤2,0≤x≤2y}
(6)
∬Dyx2ey/xdxdy, D={(x,y)|1≤x≤2,0≤y≤x2}
(7)
∬D(logy−logx)dxdy, D={(x,y)|1≤y≤x≤e}
解答7
(1)
D={(x,y)|=−2≤x≤1,x≤y≤−x2+2}
従って
∬Dxydxdy=∫1−2(∫−x2+xxxydy)dx=∫1−2(12x5−52x3+2x)dx=98
(2)
D={(x,y)|=1≤x≤2,1x≤y≤x}
従って
∬Dx2y2dxdy=∫21(∫x1xx2y2dy)dx=∫21(x3−x)dx=94
(3)
D={(x,y)|=1−y≤x≤1+y,0≤y≤1}
従って
∬D(2x−y)dxdy=∫10{∫1+y1−y(2x−y)dx}dy=∫10(−2y2+4y)dy=43
(4)
D={(x,y)|=0≤x≤1,x≤y≤1}
従って
∬D11+x2dxdy=∫10(∫1x11+x2dy)dx=∫10(11+x2−x1+x2)dx=arctan1−12log2=π4−12log2
(5)
D={(x,y)|=0≤x≤43,12x≤y≤2−x}
従って
∬D√2y−xdxdy=∫430{∫2−x12x(2y−x)12dy}dx=∫430[13(2y−x)32]y=2−xy=12xdx=13[−215(4−3x)52]430=6445
(6)
D={(x,y)|=1≤x≤2,0≤y≤x2}
従って
∬Dyx2eyxdxdy=∫21{∫x20(yx2eyx)dy}dx=∫21[(yx−1)exp(yx)]y=x2y=0=∫21{(x−1)ex+1}dx=1+e
(7)
D={(x,y)|=1≤x≤e,1≤y≤x}
従って
∬D(logy−logx)dxdy=∫e1{∫x1(logy−logx)dy}dx ⋯(∗)
ところで
∫x1(logy−logx)dy=∫x1logy−[ylogx]y=xy=1=[ylogy]x1−∫x1dy−[ylogx]y=xy=1
=[y(logy−1)]x1−[ylogx]y=xy=1=logx+1−x
と表せる。よって(∗)は
∬D(logy−logx)dxdy=∫e1(logx+1−x)dx=−(e−1)22
