相対性理論01
ここでは、時間、長さ、同時刻性などに関する公式を詳しく扱っていきます。特殊相対性理論の問題を解くためには、公式を覚えることが最優先事項です。
ローレンツ変換
静止系Sとx軸方向に一定の速度vで運動している系S′を考える。このとき、SとS′の間の変換則は、
t′=γ(t−vc2x) , x′=γ(x−vt)
で与えられる。その逆変換は、
t=γ(t′+vc2x′) , x=γ(x′+vt′)
である。これらの変換をそれぞれ、ローレンツ変換、ローレンツ逆変換という。これらは第2項目の符号がそれぞれひっくり返っただけであることに注意せよ。ここで、γはローレンツ因子で、γ=1/√1−(v/c)2である。
これより、動いている物体の時間はγ倍されるということが導ける。これを時間の遅れという。同様に、長さはγ倍されるということも導ける。これをローレンツ収縮という。なお、速度成分がゼロの方向には収縮は起こらない。
ここで、相対論でよく使う諸定義をまとめておこう。
β=vc , γ=1√1−(v/c)2=1√1−β2 , xμ=(ct,x,y,z)
これらを用いると、x軸方向のブーストに対するローレンツ変換は次のようにあらわせる。
(x0′x1′x2′x3′)x′=(γ−γβ00−γβγ0000100001)x(x0x1x2x3)
速度の合成則
速度vで運動する系S′から見て速度uで運動している系S”を静止系Sから見たときの速度wは
w=v+u1+vu/c2
となる。この合成によってwが光速度cを超えることはないということに注意。
相対論的ドップラー効果
両者の運動方向が平行になっているとき、振動数・波長はそれぞれ次のように変化する。
frecfemit=√1+β1−β, λrecλemit=√1−β1+β
放出側（emit）と受信側（receive）の順番に注意。非相対論的ドップラー効果の公式では音源が観測者に向かって動くと放出した波の振動数よりも受信した波の振動数の方が大きくなるという関係があったということと関連付けて覚えると良い。波長を考えるのであればその逆数が因子になることも自明である。
4元ベクトルの内積
4元ベクトルの内積は以下で定義される。
a⋅b=a0b0−a1b1−a2b2−a3b3
これは不変距離の計算に利用する。
静止エネルギーとエネルギー・運動量の関係式
速度vで運動する質量mの物体の相対論的運動量はp=γmvとなる。ここで、4元エネルギー・運動量ベクトルpμをpμ=(E/c,p)で定義する。アインシュタインはp0cが以下であらわされる相対論的エネルギーEであることを明らかにした。
E2=E20+p2c2=γmc2
相対論的エネルギーはたとえ物体が静止していたとしてもゼロにはならない。E0=mc2を静止エネルギーと呼ぶ。これを差し引いて得られる運動エネルギーTは以下のようにあらわせる。
T=E−mc2=12mv2+38mv4c2+⋯
第2項が非相対論的運動エネルギーと相対論的運動エネルギーの差の主要項になっている。この式は勿論、E=√m2c4+p2c2をテイラー展開することでも導ける。
