$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}} \def\caln{{\mathcal{N}}}$

質量がない表現

Poincare 代数は超対称性代数の一部分なので、質量がない状態$\Ket{p^\mu,\lambda}$は、運動量演算子$P^\mu$の固有値である運動量$p^\mu$とヘリシティ$\lambda$を用いてラベル付けされる。この状態には質量がないから、光的な系$p^\mu=(E,0,0,E)$を選ぶ。ヘリシティ$\lambda$は$p^\mu$の小群の生成子である$J_{12}$の固有値である。

$p^\mu$の選び方によっては、Casimir 演算子$P_\mu P^\mu$と$\tilde{C}_{\mu\nu}\tilde{C}^{\mu\nu}$は$0$になって、反交換関係は次のようになる。

$$\begin{equation} \{\mathcal{Q}^a_\alpha,\bar{\mathcal{Q}}_{b\dot{\beta}}\}=2\delta^a_b\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}}P_\mu=2\delta^a_bE(-\sigma^0+\sigma^3)_{\alpha\dot{\beta}}=4\delta^a_bE\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0 \end{array} \right)_{\alpha\dot{\beta}}\tag{148} \end{equation}$$

質量がない粒子$\Ket{p^\mu,\lambda}$に$\mathcal{Q}^a_2$を作用させてみよう。$\{\mathcal{Q}^a_2,\bar{\mathcal{Q}}^b_{\dot{2}}\}=0$なので、

$$\begin{equation} \Braket{p^\mu,\lambda|\bar{\mathcal{Q}}^a_{\dot{2}}\mathcal{Q}^b_2|\tilde{p}^\mu,\tilde{\lambda}}=0\tag{149} \end{equation}$$

となる。これは$\mathcal{Q}^a_2$が自明に満たすことを暗示している。すなわち、任意の$a=1,\cdots,\caln$において$\mathcal{Q}^a_2\Ket{p^\mu,\lambda}=0$である。超電荷の成分$\mathcal{Q}_1$は$\{\mathcal{Q}_1,\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{1}}\}=4E$を満たすから、生成・消滅演算子を次のように定義する。

$$\begin{equation} a^b=\dfrac{\mathcal{Q}^b_1}{2\sqrt{E}}　、　a^\dagger_b=\dfrac{\bar{\mathcal{Q}}_{b\dot{1}}}{2\sqrt{E}}\tag{150} \end{equation}$$

これにより、次の反交換関係を得ることが出来る。

$$\begin{equation} \{a^b,a^\dagger_c\}=\delta^b_c　、　\{a^b,a^c\}=\{a^\dagger_b,a^\dagger_c\}=0\tag{151} \end{equation}$$

(26)を用いると、次の交換関係を得ることが出来る。

$$\begin{equation} [\mathcal{Q}^a_\alpha,J_{12}]={(\sigma_{12})_\alpha}^\beta\mathcal{Q}^a_\beta=\dfrac{1}{2}{(\sigma_3)_\alpha}^\beta\mathcal{Q}^a_\beta\tag{152} \end{equation}$$

(152)において、特に$\alpha=1$のとき、$\Ket{p^\mu,\lambda}$を作用させると、$\mathcal{Q}^a_1\Ket{p^\mu,\lambda}$はヘリシティ$\lambda-\frac{1}{2}$をもつと結論づけることが出来る。従って、$\mathcal{Q}^b_1$と$a^b$はヘリシティを$\frac{1}{2}$だけ下げる。同様の議論で、$\bar{\mathcal{Q}}_{b\dot{1}}\Ket{p^\mu,\lambda}$のヘリシティは$\lambda+\frac{1}{2}$なので、$\bar{\mathcal{Q}}_{b\dot{1}}$と$a^\dagger_b$はヘリシティを$\frac{1}{2}$だけ上げる。

超対称性多重項を構成するために、最小のヘリシティ$\lambda$をもつ真空状態$\Ket{\Omega}$を考える。まず簡単な超対称性、すなわち$\caln=1$の場合を考える。定義より、$\Ket{\Omega}$は最も低いヘリシティを持つ状態であるから、$\mathcal{Q}_1$は$\Ket{\Omega}$を消失させる。すなわち、$\mathcal{Q}_1\Ket{\Omega}=0$となる。$\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{1}}$を作用させるとヘリシティを$\frac{1}{2}$上げることが出来る。しかし、$\bar{\mathcal{Q}}^2_{\dot{1}}$であるから、完全な多重項は次の$2$つの粒子状態に尽きる。

$$\begin{equation} \Ket{\Omega}=\Ket{p^\mu,\lambda}　、　a^\dagger\Ket{\Omega}=\Ket{p^\mu,\lambda+\dfrac{1}{2}}\tag{153} \end{equation}$$

もしこれらのような多重項を相対論的場の量子論において実現させたければ、CPT 共役な状態を加える必要がある。

$$\begin{equation} \Ket{p^\mu,\pm\lambda}　、　\Ket{p^\mu,\pm\left(\lambda+\dfrac{1}{2}\right)}\tag{154} \end{equation}$$

これらはCPT 不変性を保証するために、逆のカイラリティをもっている。この考え方によって得られる多重項の例として、$\lambda=0$における$\caln=1$カイラル多重項や$\lambda=\frac{1}{2}$におけるベクトル多重項がある。ベクトル多重項がゲージ代数において値を有する場合、そのベクトル多重項をゲージ多重項と呼ぶ。

これらの結果を拡張された超対称性代数の質量がない表現に一般化しよう。この場合の唯一の違いは、$\caln$個の異なる生成演算子$\bar{\mathcal{Q}}_{a\dot{1}}$が真空状態$\Ket{\Omega}$に作用するということである。この場合、異なる$2^\caln$個の状態をとることが出来る。$|\lambda|\leq1$の場合の質量がない超対称性多重項は表4にまとめられている。$\caln=1$ゲージ$+\mathrm{CPT}$を$1$つと$\caln=1$カイラル$+\mathrm{CPT}$を$1$つで$\caln=2$ゲージ$+\mathrm{CPT}$を$1$つ作ることが出来る。また、$\caln=1$ゲージ$+\mathrm{CPT}$を$2$つで$\caln=2$ハイパーを$1$つ作ることが出来る。そして、$\caln=2$ゲージ$+\mathrm{CPT}$を$1$つと$\caln=2$ハイパーを$1$つで$\caln=4$ゲージを$1$つ作ることが出来る。

一方で、$\caln=3$ゲージ$+\mathrm{CPT}$のように$\mathrm{CPT}$を課さない限り$\caln=3$は実現出来ない。

表4 $|\lambda|\leq1$の場合の質量がない超対称性多重項