第23講：加法公式

$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}}$

$\wp$ 、 $\zeta$ 、及び $\sigma$ 関数の加法公式

今 $\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)$ の式において $u$ を変数と考え、 $v$ を周期に等しくない定数とする。そうすればこの式は一つの楕円関数で、その極は $0、0$ に、零点は $v、-v$ にある。ゆえに前回の(I)の表示式により

$\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=C\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u+v\right)}{\sigma\left(u\right)^2}$
とおくことが出来る。この各辺を

$u$ の冪級数に展開すれば

$\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=\frac{1}{u^2}-\cdots$

$C\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u-v\right)}{\sigma\left(u\right)^2}=C\frac{-\sigma\left(v\right)^2+\cdots}{\left(u+\cdots\right)^2}=-C\frac{\sigma\left(v\right)^2}{u^2}+\cdots$
ゆえに両辺を比較して

$\displaystyle C=-\frac{1}{\sigma\left(v\right)^2}$ を得る。これを前の表示式に入れれば

$\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=-\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u+v\right)}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(v\right)^2}\tag{1}$
となる、これは重要な公式である。ただし上の証明では

$v$ を仮に定数としたのであるが、実は周期以外の値ならば何でもよいのであるから、(1)においては

$u$ 、

$v$ 共に変数と考えてよい。
　(1)の両辺の対数をとり、これを

$u$ 及び

$v$ に関して偏微分すれば次の式を得る。

$\begin{eqnarray*} \frac{\wp’\left(u\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}&=&\zeta\left(u-v\right)+\zeta\left(u+v\right)-2\zeta\left(u\right)\\ \frac{-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}&=&-\zeta\left(u-v\right)+\zeta\left(u+v\right)-2\zeta\left(v\right) \end{eqnarray*}$
これを辺々加えれば

$\zeta\left(u+v\right)=\zeta\left(u\right)+\zeta\left(v\right)+\frac{1}{2}\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\tag{2}$
の結果を得る。これを

$\zeta$ 関数の加法公式という。

　注意：第16回で述べた加法公式の定義によれば $\zeta\left(u+v\right)$ を $\zeta\left(u\right)、\zeta\left(v\right)$ のみで表さなければならない訳であるが、それは後に述べるように実は不可能なのでやむを得ず $\wp\left(u\right)$ 等を混ぜるのである。しかし $\wp\left(u\right)=-\zeta’\left(u\right)$ であることを利用すれば(2)の右辺は $\zeta\left(u\right)、\zeta\left(v\right)$ 及びその第二次までの導関数で表される。ゆえに広義においてこれを $\zeta$ の加法公式といってもよい訳である。
　(2)の両辺をさらに $u$ で偏微分すれば次の式を得る。

$\wp\left(u+v\right)=\wp\left(u\right)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial u}\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\tag{3}$
これすなわち

$\wp$ 関数の加法公式である。
　(3)の右辺における微分を実行し、その結果を整理すれば

$\wp\left(u+v\right)=\frac{\displaystyle2\left\{\wp\left(u\right)\wp\left(v\right)-\frac{1}{4}g_2\right\}\left\{\wp\left(u\right)+\wp\left(v\right)\right\}-g_3-\wp’\left(u\right)\wp’\left(v\right)}{2\left\{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)\right\}^2}$
となる。なおその他種々の形に書き直すことが出来るが、その計算は各自の演習にすることにして、そのいくつかの結果のみをここに記しておく。

$\wp\left(u+v\right)+\wp\left(u\right)+\wp\left(v\right)=\frac{1}{4}\left\{\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\right\}^2\tag{4}$

$\left|\begin{array}{ccc} \wp\left(u\right) & \wp’\left(u\right) & 1 \\ \wp\left(v\right) & \wp’\left(v\right) & 1 \\ \wp\left(w\right) & \wp’\left(w\right) & 1 \end{array}\right|=0\hspace{1cm}ただしu+v+w=\left(周期\right)\tag{5}$
　注意： 1。 (5)は今までの諸式からも誘導されるが、次の方針でも独立に証明される。まず(5)の左辺の行列式だけを考え、

$w$ の代わりに

$z$ の変数を入れれば、この行列式は

$z$ に関する第三位の楕円関数である。そしてその極は

$0、0、0$ にあり、零点の中二つは

$u、v$ である。ゆえに残りの一つを

$w$ とすれば、第23回定理6により、

$u+v+w=0+0+0+\left(周期\right)$ 。これからただちに(5)を得る。
　注意： 2。

$\wp$ 関数の加法公式は

$\wp\left(u+v\right)$ 、

$\wp\left(u\right)$ 、

$\wp\left(v\right)$ 、

$\wp’\left(u\right)$ 、

$\wp’\left(v\right)$ を含んでいるが、既に知られるように

$\wp^{‘2}$ は

$\wp$ の三次式で表されるから、結局加法公式は

$R\left\{\wp\left(u+v\right)、\wp\left(u\right)、\wp\left(v\right)\right\}=0\hspace{1cm}\left(Rは有理整式\right)$
の形に書かれる。この性質を称して

$\wp$ 関数は代数的加法公式をもつという。
　さて最後に

$\sigma$ 関数の加法公式を求めるのであるが、これもある意味において広義のものしか出来ない。まず

$A、B、C、D$ を任意の数とすると

$\left(A-B\right)\left(C-D\right)+\left(A-C\right)\left(D-B\right)+\left(A-D\right)\left(B-C\right)=0$
が恒等式であることは明らかである。そこで今特に

$A=\wp\left(u\right)、\ \ \ B=\wp\left(u_1\right)、\ \ \ C=\wp\left(u_2\right)、\ \ \ D=\wp\left(u_3\right)$
とおく、ただし

$u、u_1、u_2、u_3$ は各独立な変数とする。前の(1)により

$A-B=\wp\left(u\right)-\wp\left(u_1\right)=-\frac{\sigma\left(u+u_1\right)\sigma\left(u-u_1\right)}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(u_1\right)^2}$

$C-D$ 、その他についても同様に計算し、それらを上の恒等式に入れ、分母を払えば次の式を得る。

$\begin{align} &\sigma\left(u+u_1\right)\sigma\left(u-u_1\right)\sigma\left(u_2+u_3\right)\sigma\left(u_2-u_3\right)\\ +&\sigma\left(u+u_2\right)\sigma\left(u-u_2\right)\sigma\left(u_3+u_1\right)\sigma\left(u_3-u_1\right)\\ +&\sigma\left(u+u_3\right)\sigma\left(u-u_3\right)\sigma\left(u_1+u_2\right)\sigma\left(u_1-u_2\right)=0 \end{align}$
これを

$\sigma$ 関数の加法公式という。
　(6)において

$u+u_1=a、~~~ u-u_1=b、~~~ u_2+u=c、~~~ u_2-u_3=d$
とおけば、加法公式は次の形にも書かれる。

$\begin{align} &\sigma(a)\sigma(b)\sigma(c)\sigma(d)+\sigma(a’)\sigma(b’)\sigma(c’)\sigma(d’)\\ &+\sigma\left(a”\right)\sigma\left(b”\right)\sigma\left(c”\right)\sigma\left(d”\right)=0\\ &ただし\left\{\begin{array}{l} \displaystyle a’=\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)\\ \displaystyle b’=\frac{1}{2}\left(a+b-c-d\right)\\ \displaystyle c’=\frac{1}{2}\left(a-b+c-d\right)\\ \displaystyle d’=\frac{1}{2}\left(-a+b+c-d\right) \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} \displaystyle a”=\frac{1}{2}\left(a+b+c-d\right)\\ \displaystyle b”=\frac{1}{2}\left(a+b-c+d\right)\\ \displaystyle c”=\frac{1}{2}\left(a-b+c+d\right)\\ \displaystyle d”=\frac{1}{2}\left(a-b-c-d\right) \end{array}\right. \end{align}$

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017

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$\wp$ 、 $\zeta$ 、及び $\sigma$ 関数の加法公式

参考文献

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