$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}} \def\caln{{\mathcal{N}}}$

$\caln=1$超空間形式

超対称性多重項と超対称性理論のLagrangian を書き下すために便利な方法は、よく知られているBoson 的な座標に加えて、Fermion 的な座標を導入することによって得られる。特に、平らな$3+1$次元における$\caln=1$超対称性であれば、通常のMinkowski 座標$\mathbb{R}^4$に左巻きWeyl スピノール座標$\theta_\alpha$と右巻きWeyl スピノール座標$\bar{\theta}_{\dot{\alpha}}$を加える。これによって、超空間$\mathbb{R}^{4|4}$を得る。この空間における座標$z^A$を以下のようにあらわす。

$$\begin{equation} z^A=(x^\mu,\theta_\alpha,\bar{\theta}_{\dot{\alpha}})\tag{173} \end{equation}$$

超対称性代数に対応する群を得るためには、代数の生成子に対して指数を取る必要がある。特に、ここでは演算子を

$$\begin{equation} G(x,\theta,\bar{\theta})=\exp{\left(-ix_\mu P^\mu+i\theta\mathcal{Q}+i\bar{\theta}\bar{\mathcal{Q}}\right)}\tag{174} \end{equation}$$

と定義する。但し、$\theta^\alpha\mathcal{Q}_\alpha=\theta^\alpha\epsilon_{\alpha\beta}\mathcal{Q}^\beta$、$\bar{\theta}_{\dot{\alpha}}\bar{\mathcal{Q}}^{\dot{\alpha}}=\bar{\theta}_{\dot{\alpha}}\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\beta}}$で与えられるようなスカラー積を用いる。$P_\mu$、$\mathcal{Q}$、$\bar{\mathcal{Q}}$の間における（反）交換関係と同等なBaker-Campbell-Hausdorff の公式を用いると、このような$2$つの演算子の積を次のように得ることが出来る。

$$\begin{equation} G(0,\xi,\bar{\xi})G(x,\theta,\bar{\theta})=G(x^\mu+i\theta\sigma^\mu\bar{\xi}-i\xi\sigma^\mu\bar{\theta},\theta+\xi,\bar{\theta}+\bar{\xi})\tag{175} \end{equation}$$

添字をあからさまに書けば、例えば、$\theta\sigma^\mu\bar{\xi}=\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{\xi}^{\dot{\alpha}}$などとなる。

(175)を用いると、超空間座標$(x^\mu,\theta,\bar{\theta})$に作用する$g(\xi,\bar{\xi})=G(0,\xi,\bar{\xi})$の作用を見い出すことが出来て、

$$\begin{equation} g(\xi,\bar{\xi}):~(x^\mu,\theta,\bar{\theta})\mapsto(x^\mu+i\theta\sigma^\mu\bar{\xi}-i\xi\sigma^\mu\bar{\theta},\theta+\xi,\bar{\theta}+\bar{\xi})\tag{176} \end{equation}$$

となる。但し、これは、

$$\mathcal{Q}_\alpha=\dfrac{\partial}{\partial\theta^\alpha}-i\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}\partial_\mu\tag{177}$$
$$\bar{\mathcal{Q}}^{\dot{\alpha}}=\dfrac{\partial}{\partial\bar{\theta}_{\dot{\alpha}}}-i\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}}\epsilon^{\dot{\beta}\dot{\alpha}}\partial_\mu\tag{178}$$

を用いた微分演算子$\xi\mathcal{Q}+\bar{\xi}\bar{\mathcal{Q}}=\xi^\alpha\mathcal{Q}_\alpha+\bar{\xi}_{\dot{\alpha}}\bar{\mathcal{Q}}^{\dot{\alpha}}$によって代表させることが出来る。

もし、(175)で$G(0,\xi,\bar{\xi})$による$G(x,\theta,\bar{\theta})$の積を、左からの積ではなく右からの積として考えるならば、

$$\mathcal{D}_\alpha=\dfrac{\partial}{\partial\theta^\alpha}+i\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}\partial_\mu\tag{179}$$
$$\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}}-i\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_\mu\tag{180}$$

を用いた微分演算子$\xi\mathcal{D}+\bar{\xi}\bar{\mathcal{D}}=\xi^\alpha\mathcal{D}_\alpha+\bar{\xi}_{\dot{\alpha}}\bar{\mathcal{D}}^{\dot{\alpha}}$を用いる必要がある。

問題

超空間座標$z=(x,\theta,\bar{\theta})$を作用させた(177)は、超空間変換(176)を生じることを示せ。

問題

以下の式を導け。

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rclcccrcrcl} \{\mathcal{Q}_\alpha,\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\alpha}}\}&=&2i\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_\mu&&&&\{\mathcal{Q}_\alpha,\mathcal{Q}_\beta\}&=&\{\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\alpha}},\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\beta}}\}&=&0\\ &&&&&&&&&&\\ \{\mathcal{D}_\alpha,\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\alpha}}\}&=&-2i\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_\mu&&&&\{\mathcal{D}_\alpha,\mathcal{D}_\beta\}&=&\{\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\alpha}},\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\beta}}\}&=&0\\ &&&&&&&&&&\\ \{\mathcal{D}_\alpha,\mathcal{Q}_\beta\}&=&\{\mathcal{D}_\alpha,\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\beta}}\}&=&0&&\{\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\alpha}},\mathcal{Q}_\beta\}&=&\{\bar{\mathcal{D}}_{\dot{\alpha}},\bar{\mathcal{Q}}_{\dot{\beta}}\}&=&0 \end{array} \right.\tag{181} \end{equation}$$

一般の超場

超空間の各点$(x,\theta,\bar{\theta})$に$\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})$で写されるような一般の超場$\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})$を考えてみよう。ここで、$\bm{F}$はスカラー場である必要はなく、ベクトル場やスピノール場のように添字が走っても良いということに注意しよう。この超場$\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})$は$\theta$と$\bar{\theta}$のべきで展開することが出来る。展開係数は超対称性多重項に対応する場である。$\theta$と$\bar{\theta}$の反交換性から、$\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})$の展開は$\theta^2\bar{\theta}^2$で切り捨てられて、

$$\begin{align} \bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})=&f^{(1)}(x)+\theta f^{(2)}(x)+\bar{\theta}\bar{f}^{(3)}(x)+\theta^2f^{(4)}(x)\nonumber\\ +&\bar{\theta}^2f^{(5)}(x)+\theta\sigma^\mu\bar{\theta}f_\mu^{(6)}(x)+\theta^2\bar{\theta}\bar{f}^{(7)}(x)+\bar{\theta}^2\theta f^{(8)}(x)+\theta^2\bar{\theta}^2f^{(9)}(x)\tag{182} \end{align}$$

となる。但し、$f^{(1)}(x)$、$f^{(4)}(x)$、$f^{(5)}(x)$、$f^{(9)}(x)$はスカラー場であり、$f^{(2)}(x)$、$f^{(8)}(x)$は左巻きWeyl スピノール場であり、$f^{(3)}(x)$、$f^{(7)}(x)$は右巻きWeyl スピノール場であり、$f^{(6)}(x)$はベクトル場である。$\bm{F}$のある成分の場を指定するために、$\bm{F}_{|\cdots}$という書き方をする。すなわち、$\bar{f}^{(3)}$を指定するためには$\bm{F}_{|\bar{\theta}}=\bar{f}^{(3)}$と書き、$f^{(9)}$を指定するためには$\bm{F}_{|\theta^2\bar{\theta}^2}=f^{(9)}$と書く。通常、$\theta^2\bar{\theta}^2$と積になっている成分場$f^{(9)}(x)$は$D$項と呼ばれ、一方で$\theta^2$、$\bar{\theta}^2$と積になっている$f^{(4)}(x)$、$f^{(5)}(x)$は$F$項と呼ばれる。

超場$\bm{F}$の超対称性変換$\delta_\epsilon$は個々の成分場に超対称性変換を作用させることで定義され、

$$\begin{align} \delta_\epsilon\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})=&\delta_\epsilon f^{(1)}(x)+\theta \delta_\epsilon f^{(2)}(x)+\bar{\theta}\delta_\epsilon\bar{f}^{(3)}(x)+\theta^2\delta_\epsilon f^{(4)}(x)\nonumber\\ &+\bar{\theta}^2\delta_\epsilon f^{(5)}(x)+\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\delta_\epsilon f_\mu^{(6)}(x)+\theta^2\bar{\theta}\delta_\epsilon\bar{f}^{(7)}(x)+\bar{\theta}^2\theta\delta_\epsilon f^{(8)}(x)+\theta^2\bar{\theta}^2\delta_\epsilon f^{(9)}(x)\tag{183} \end{align}$$

となる。また、(177)と(178)で定義された演算子$\mathcal{Q}$、$\bar{\mathcal{Q}}$を用いることで

$$\begin{equation} \delta_\epsilon\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})=(\epsilon\mathcal{Q}+\bar{\epsilon}\bar{\mathcal{Q}})\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})\tag{184} \end{equation}$$

とあらわすことが出来る。超場$\bm{F}$を展開することで、成分場の超対称性変換に対する法則を得ることが出来る。一般の超場$\bm{F}(x,\theta,\bar{\theta})$の成分場は、自由度が多過ぎて$\caln=1$超対称性多重項に適合しないということに注意が必要である。換言すれば、超場$\bm{F}$の成分場は超対称性代数の既約表現のもとで変換しないということである。一般の超場$\bm{F}$に条件を課すことで類似の超場として、$\caln=1$カイラル超場や$\caln=1$ベクトル超場を見出すことが出来る。まず、カイラル超場から始めることにしよう。次回、カイラル超場の導入を行う。