微積分学の基本定理
f(x)を1変数関数であるとする。微積分学の基本定理(The fundamental theorem of Calculus)は以下のような式が成り立つという主張である。
∫ba(dfdx)dx=f(b)−f(a)
もしこの形に馴染めなければ、F(x)=df/dxとおいて、
∫baF(x)dx=f(b)−f(a)
と書くと良い。基本定理はどのようにF(x)を積分するのかということを教えてくれる。つまり、微分した結果がF(x)に一致するようなf(x)を探すということである。
幾何学的には、(33)のように、df=(df/dx)dxはxをx+dxへ微小変化させたときのfの微小変位である。図1.25のように、基本定理(54)はもしaからbまでの間隔を長さdxの微小な短冊に区切って増加分dfを足し合わせると、結局、合計の変位は当然f(b)−f(a)になるということを言っているのである。換言すれば、変位を求める場合、微小変位を足し合わせるという方法と、一番最後の値から一番最初の値を引くという方法で2つの方法があるということである。どちらの方法でも、同じ答えが得られる。
基本定理の基本的な形式は、ある領域内の導関数の積分は、端点(境界)での関数の値で与えられる。ベクトル解析では、3種類の微分、すなわち、勾配、発散、回転があるので、それぞれに同じような形の基本定理が存在する。以下では、これらの定理の意味を説明して、尤もらしいと納得することにして、証明は行わない。
図1.25
勾配における基本定理
3変数のスカラー関数T(x,y,z)を考える。図1.26のように、aを始点として微小変位させる。このときの微小変位をdl1とする。(37)に依れば、関数Tは以下の式に従って変化する。
dT=(∇T)⋅dl1
そしてまた更に微小変位させる。このときの微小変位をdl2とすると、このときの変位は(∇T)⋅dl2となる。この方法を継続して微小変位をどんどん足し合わせていくことで終点bまで到達する。各点でTの勾配と変位dlの内積を計算するとTの変化が得られる。結果的に、aからbを結ぶある経路でのTの合計の変化分は
∫ba(∇T)⋅dl=T(b)−T(a)
となる。これを勾配における基本定理(fundamental theorem for gradients)という。常微分での基本定理のように、導関数の積分(ここでは線積分)は境界aとbでの関数の値で与えられることになる。
幾何学的には、例えば東京タワーの高さを決めたいとき、階段を登りながら1段1段の高さを測って足していくというのが(55)の左辺に対応しており、高度計を置いて頂点から地表までの差を測るというのが(55)の右辺に対応しているということである。基本定理の教えるところによって、どちらのやり方でも同じ答えが得られるようになっている。
加えて、前に問題で見たように、線積分は通常、aからbまでの経路の取り方に依存する。しかし、(55)の右辺は経路の取り方に依存しておらず、始点と終点のみに依る結果となっている。明らかに、勾配には、勾配の線積分が経路に依存しないという特別な性質がある。これは以下のように書ける。
系1:∫ba(∇T)⋅dlはaからbまでの経路の取り方と独立である。
系2:始点と終点が一致するため、∮(∇T)⋅dl=0が成り立ち、このときT(b)=T(a)=0である。
図1.26
問題
図1.27のように、原点a=(0,0,0)からb=(2,1,0)までの経路をとり、スカラー関数T=xy2について、勾配における基本定理を確認せよ。
図1.27
解説
以下のように経路(1)と経路(2)を合わせた経路と、経路(3)で比較してみる。このとき常に、dl=dxˆx+dyˆy+dzˆz、∇T=y2ˆx+2xyˆyである。
経路(1)
y=0、dl=dxˆx、∇T⋅dl=y2dx=0なので、以下のようになる。
∫(1)∇T⋅dl=0
経路(2)
x=2、dl=dyˆy、∇T⋅dl=2xydy=4ydyなので、以下のようになる。
∫(2)∇T⋅dl=∫204ydy=2y2|20=2
従って、線積分の値の合計は2である。これはT(b)−T(a)=2−0=2であるので、基本定理と一貫した結果となっている。
これだけで計算結果が経路に依らないことは確信出来るが、ここで更にaとbをまっすぐ結んだ経路(3)での積分計算を行ってみよう。
経路(3)
y=12、dy=12dx、∇T⋅dl=y2dx+2xydy=34x2dxなので、以下のようになる。
∫(3)∇T⋅dl=∫2034x2dx=14x3|20=2