$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$

共形場理論におけるくりこみ

場の理論において共形的であるために必要な条件は、その場のスケール不変性である。従って、くりこまれた理論における共形対称性のために必要な条件は全ての$\beta$関数が消えることである。さもないと、アノマリー次元$\gamma$が$0$でない値のまま残ってしまう。古典的スケール次元が$\Delta$のプライマリー演算子の$2$点関数を例に考えてみよう。$\beta\coloneqq0$において、第1章で議論したくりこみ群方程式は以下のように減らされる。

次元解析から、くりこまれた理論における$2$点関数も古典的スケール次元が$2\Delta$であり、以下の式を満たす。

スカラープライマリー場の$2$点関数は$(x-y)$の関数であり、$\mu\rightarrow\mu+\delta\mu$、$(x-y)\rightarrow(x-y)+\delta(x-y)$、$\mathcal{O}\rightarrow\mathcal{O}+\delta\eta\mathcal{O}=(1+\delta\eta)\mathcal{O}$のとき、$2$点関数

(116)は次の式を示唆している。

くりこまれた$2$点関数におけるこの方程式の解は一般に

となる。但し、正則性に関しては有次元スケール$\mu$を導入する必要があって、例えば適切なくりこみの方法を用いることになる。(74)と(79)より、$\gamma$はスケール変換演算子の固有値に対する量子補正である。これによって以下のように書くことが出来る。