ベクトル解析演習5
今回はベクトル解析における曲面の向きづけに関する問題演習をしましょう。
要点のまとめ
2変数のベクトル値関数r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))を考えます。n変数の場合も同様に拡張します。
このとき、u,vのベクトル値関数r,r1,r2、u,vの関数f、スカラーλ,μに対して、以下の式がそれぞれ成り立ちます。
∂∂u(λr1+νr2)=λ∂r∂u+μ∂r2∂u , ∂∂u(fr)=∂f∂ur+f∂r∂u
∂∂u(r1⋅r2)=∂r1∂u⋅r2+r1⋅∂r2∂u , ∂∂u(r1×r2)=∂r1∂u×r2+r1×∂r2∂u
∂r∂s=∂u∂s∂r∂u+∂v∂s∂r∂v , ∂r∂s×∂r∂t=∂(u,v)∂(s,t)(∂r∂u×∂r∂v)
また、2変数ベクトル値関数r(u,v)が与える曲面をSとすると、∂r∂u×∂r∂vはSの各点でSの法ベクトルになります。
n=∂r∂u×∂r∂v|∂r∂u×∂r∂v|
とおくと、nはSの点Pにおける単位法ベクトルで、∂r∂u×∂r∂vと同じ向きのものです。単位法ベクトルは±nで与えられます。
向き付けについては次のように定義します。表裏の指定された曲面を向き付けられた曲面といいます。表を正の向き、裏を負の向きといわれることもあります。向き付けられた曲面Sに対して法ベクトルが正の向きであるようなパラメータ(u,v)を向きに適合したパラメータといいます。
問題5
次の向き付けられた曲面を、向きに適合したパラメータで表示せよ。向きに適合している理由も述べること。
(1)
球面x2+y2+z2=4。その正の向きは外側とする。
(2)
楕円柱面の一部{(x,y,z)|x2+4y2=1,x>0,y>0,0<z<3}。その正の向きは領域{(x,y,z)|x2+4y2>1,x>0,y>0}のある方とする。
(3)
放物柱面y2=8xの0≤y≤4,0≤z≤6の部分。その正の向きはy2<8xの方とする。
(4)
平面2x+3y+6z=12のx≥0,y≥0,z≥0の部分。その正の向きはこの平面で分けられる2つの領域の原点の無い方とする。また、そのパラメータの範囲Dを不等式で表示せよ。
解答5
(1)
この球面のパラメーター表示として例えば
r(θ,φ)=(2sinθcosφ,2sinθsinφ,2cosθ) (0<θ<π,0≤φ<2π)
(2)
この面のパラメーター表示として例えば
r(θ,h)=(cosθ,12sinθ,h) (0<θ<12π,0<h<3)
(3)
この面のパラメーター表示として例えば
r(t,u)=(18t2,t,u) (0≤t≤4,0≤u≤6)
があるが、これは面の向きに適したパラメーター表示である。何故なら今、t,uを設定すれば
∂r∂t×∂r∂u=(1,−14t,0)
であり、これは明らかに向きに適合している。従って先のベクトル値関数によって向きに適合したパラメーター表示がされていると言える。
(4)
点O′,A,B及び パラメーターs,t (0≤s≤1,0≤t≤1)を定めれば
→OO′=(0,0,2) , →O′A=(6,0,−2) , →O′B=(0,4,−2)
であるので平面2x+3y+6z=12 (x≥0,y≥0,z≥0)と同等であるΔO′AB内の点Pは
→OP=→OO′+(1−s)→O′A+st→O′B=(6(1−s),4st,2s(1−t))
このことから今考えている平面のパラメーター表示として
r(t,s)=(6(1−s),4st,2s(1−t))
があると予想できる。
∂r∂t×∂r∂s=(8s,12s,24s)=4s(2,3,6)
であり4s≥0なので確かにr(t,s)は向きに適合したパラメータ表示であると言える。また、D={(t,s)|0≤t≤1,0≤s≤1}である(境界含む)。
