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第04講:標準形2

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今回は前回議論した内容の具体例を考えていきます。

例1

例としてdzz4+1を標準形に直すことを考えます。

φ(z)=z4+1=0の四つの根を
α0=1+i2, α1=1+i2, α2=1i2, α3=1i2
とすれば、
λ=α1α0α1α2α3α2α3α0, k=1λ1+λ=212+1
標準形に直すための一つの一次変換は次のようになります。
z1+i2z1i2=1+i2ζ1ζ+1
これによって実際に計算してみると
dzz4+1=(22)idζ(1ζ2)(1k2ζ2) ,  k=212+1
となります。この場合におけるzζの関係を図示すれば次のようになります。

例2

次の例としてdz1z2を標準形に直すことを考えてみましょう。

この場合には
α0=1 ,  α1=1+3i2 ,  α2= ,  α3=13i2
としてみると、
λ=α1α0α3α0=13i2 , λ=3i2 , k=1λ1+λ=(23)i
求める一次変換の式は
zα0α2α0=ζ1ζ+1λ
すなわち
z1=3ζ1ζ+1
となります。これによって実際に変換を行えば
dz1z2=22i43(1+3)dζ(1ζ2)(1k2ζ2) ,  k=(23)i
となって、ここにzζの関係が分かります。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三,『楕円関数論』,岩波書店,1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis (AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和,『楕円関数入門』,日本評論社,2001

[4]戸田盛和,『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49  ソリトンと物理学』,サイエンス社,2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz,『力学』,東京図書,2017

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