楕円積分の多価性
次は楕円無理関数R(z,s)の積分、すなわち楕円積分の関数論的性質を少し調べてみましょう。R(z,s)はR面上で一価であるけれども、これを積分して得る関数
F(z)=∫zaR(z,s)dz (aは定数)
は必ずしもR面上で一価ではありません。その原因の一つはR面上にあるR(z,s)の極または無限遠点の中にその点における留数の0でないものが一般には存在するということにあります。例えばaからzにいたる二つの積分路C、C′がR面上において一つの単一連結面分を囲んでいるとして、その内部にR(z,s)の留数の0でない点がただ一つあってその留数をAとすれば、
∫(C)R(z,s)dz=∫(C′)R(z,s)dz±2πiA
となります。すなわちF(z)の値はzのみでは定められずに積分路にも関係するのです。故にF(z)は一価でありません。F(z)が多価になる第二の原因はR面が複雑な連結状態をもつことにあります。元来Cauchyの積分定理は単一な数平面の上で証明されたものですが、R面は単なる平面と違って例えばその上の任意の単一閉曲線Lが必ずしもR面を二つの部分にわけないなどの性質があるため、R面上では(仮にR(z,s)のすべての点における留数がゼロであっても)必ずしも
∫(L)R(z,s)dz=0
ではありません。故に今C1、C2がちょうど合わせてこのようなLとなるものとすれば、一般には
∫(C1)R(z,s)dz=∫(C2)R(z,s)dz
でありません。これがまたF(z)を多価にしている一因です。この第二の原因による多価性をさらに詳しく調べるためにまずR面の連結状態を精査する必要があります。
便宜上、数平面の代わりに数球面を用いることにすれば、R面の代わりにこのような面を得ます。すなわち二つの球面が内外に重なり両者は二つの弧⌢α0α1及び⌢α2α3において交差しているのです。
さて今我々は面の連結状態のみを問題としていて、形や大きさなどはどのように変えても問題が無いので、切り口を開いてこれを二個の管状のものに直してもよいことになります。
ここで両管の口をそれぞれ記号が合うようにつなぎ合わせれば浮袋のような形の曲面を得ることができます。これはもとのR面を一度切り離してまた前の通りにつなぎ合わせたので、連結状態においては元と変わりがないはずです。これを¯R面と呼ぶことにします。
今¯R面を線Bに沿って切断し、これをまっすぐに伸ばせば円柱になります。この円柱をさらに線Aに沿って切り開いて、これを平らに広げれば一枚の矩形を得る、これは明らかに単一連結の面分です。
さて¯R面はこのように二線A、Bに沿って切れば単一連結の面分になるので、これと同じ連結状態をもつR面においても同様のことが成立しなければなりません。そうであれば¯R面上におけるA,Bに対応するものはR面上の曲線になります。故にR面をA,Bに沿って切れば、たとえ伸ばしたり広げたりしなくてもそのままで、単一連結になっているはずです。これは直感的にはちょっと見通しが困難かも知れませんが、広げたときにA,Bの両岸が矩形の四辺になることを考えるとちょうど矩形の四隅に当たることが分かります。このように切断線を入れて単一連結に直された面をR′面と呼ぶことにします。
R′面は単一連結で、そこではCauchyの積分定理が成立するから、F(z)が多価になる第二の原因は除かれたことになります。故に積分路をR′面内にあるようにすれば(積分路がAまたはBを横切らないようにすれば)F(z)は第一の原因すなわちR(z,s)の0でない留数の存在によってのみ多価となることが分かります。特にもしR(z,s)の留数がいたる所0ならばF(z)はR′においては一価関数となります。
しかし元来A、Bの切断線は我々が便宜上設けたもので、最初にF(z)の積分を考えたときにはこのような制限はなくして積分路はR面(R′面ではない)内を自由に走り得るものと考えていました。そこで次に起きる問題は、aからzにいたる積分F(z)の値を考えるのに、積分路をR′面内に取ったときとR′面の外に出る経路(すなわちAまたはBと交わる経路)を取ったときでどのような違いがあるかということです。
今A、Bをとり、矢の方向をそれぞれの正の方向と定めます。すなわちBはAの正の方向を左から右に横切るものとし、その交点をqとします。なお簡単のためにR(z,s)の留数はいたる所0であると仮定し、第一の原因から生じる多価性は一切考えないことにしましょう。さてそこで例えばcからzにいたるR′内の経路C1と、一度Aを(点pにおいて)右から左に横切る経路C2に対するF(z)の値をそれぞれF1,F2と名付ます。
仮定によりR′内ではF(z)は一価であるため、cとzをR′内で結ぶ二つの経路C1,C1′に沿ってのF(z)の値は同一になります。(球面上で考えればcとzを固定しておいて、C1を∞を通して変形することによってC1′の位置に来させることが分かります。)そのC1′をさらに変形してR′面の限界となるA、Bに密着する位置まで来させたとすれば、
F2=∫(C2)=∫pc+∫zpF1=∫(C1)=∫(C1′)=∫pc+∫qp+∫(B)+∫pq+∫zp
ただし∫(B)というのは点qからBを正の方向に一周する積分を意味しています。また∫qpと∫pqは同じAに沿ってそれぞれ反対の向きに積分するのであるから互いに打ち消すことになります。よって
F1=∫pc+∫(B)+∫zp=F2+∫(B)
従って
F2=F1−∫(B)
です。すなわち積分路がAを右から左に横切るときは横切らないときに比べて積分の値が∫(B)だけ減ることになります。このことは上の計算で明らかな通りAを横切る点pの位置には関係しません。なおC1やC2を種々の形に書いて上述の理論を繰り返してみるとよい復習になると思います。
もしまたAを左から右に横切るときは積分の値は∫(B)だけ増えることも簡単に示すことができます。またAの代わりにBを一回横切るときの積分をF3とすれば、
F3=F1±∫(−A)
です。ただし(−A)とはAを負の方向に一周する積分路を示し、また積分の前の複号はBを横切る向きが左から右のとき+、右から左のとき−をとるものとしています。
Aを横切るときの∫(B)の数をAに関するF(z)の周期母数といい、これをP(A)で表します。同様に∫(−A)をBに関するF(z)の周期母数といい、これをP(B)で表します。すなわち
P(A)=∫(B) , P(B)=∫(−A)=−∫(A)
一般に積分路がR面上を自由に横行しその間Aを左から右にm1回、右から左にm2回横切り、またBを左から右にn1回、右から左にn2回横切るとすれば、その積分の値は
F1+(m1−m2)P(A)+(n1−n2)P(B)
です。以上では簡単のためにR(z,s)の留数をすべて0と考えましたが、もし一般に0でない留数c1,c2,⋯があって、積分路がそれらの点を正の方向にそれぞれℓ1,ℓ2,⋯周するとすれば、積分の値にさらに
2πi(ℓ1c1+ℓ2c2+⋯)
が加わることになります。
まとめ
以上をまとめると次の結果が得られます。
楕円積分∫zcR(z,s)dzは、zをR面上の変点とすれば、zの多価関数であって、その一つの値をuとすれば、最も一般の値は次の形によって与えられる。
∫zcR(z,s)dz=u+mP(A)+nP(B)+2πi(ℓ1c1+ℓ2c2+⋯)
ここでP(A),P(B)及びc1,c2,⋯はそれぞれ周期母数及び留数の定数、またm,n,ℓ1,ℓ2,⋯は整数である。
参考文献
参考文献は以下の通り。
[1]竹内端三,『楕円関数論』,岩波書店,1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。
[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis (AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。
[3]戸田盛和,『楕円関数入門』,日本評論社,2001
[4]戸田盛和,『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49 ソリトンと物理学』,サイエンス社,2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。
[5]Landau・Lifshitz,『力学』,東京図書,2017