$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}}$

乗法公式

前回得た加法公式において$v=u$とおけば$\mathrm{sn}\ 2u,\mathrm{cn}\ 2u,\mathrm{dn}\ 2u$を$\mathrm{sn}\ u,\mathrm{cn}\ u,\mathrm{dn}\ u$で表した式を得ることができます。前回の最後の2つの公式を二倍公式と呼ぶことにしましょう。

さらに加法公式において$v=2u$とおき、ここに二倍公式を代入すれば、$\mathrm{sn}\ 3u$等を$\mathrm{sn}\ u$等で表した三倍公式を得ることもできます。順番にこのような加法公式を反復使用すれば何倍公式でも求められるはずです。これらの公式を総称して乗法公式といいます。

乗法公式を算出するには次のような方法をとるのが便利です。

まず$n$を任意の自然数とするとき、$n$が奇数ならば
$$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sn}\ nu=\frac{\displaystyle xA_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}\\ \mathrm{cn}\ nu=\frac{\displaystyle yB_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}\\ \mathrm{dn}\ nu=\frac{\displaystyle zC_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)} \end{array}\right.\tag{1}$$
$n$が偶数ならば
$$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sn}\ nu=\frac{\displaystyle xyzA_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}\\ \mathrm{cn}\ nu=\frac{\displaystyle B_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}\\ \mathrm{dn}\ nu=\frac{\displaystyle C_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)}{\displaystyle D_n\hspace{-1.2mm}\left(x^2\right)} \end{array}\right.\tag{2}$$
とおくことが出来ます（これは数学的帰納法で示せます）。ただし、
$$x=\mathrm{sn}\ u,\ \ \ y=\mathrm{cn}\ u,\ \ \ z=\mathrm{dn}\ u$$
です。また$A_n,B_n,C_n,D_n$は各$x^2$の多項式です。

$n=1,2$の場合は
$$A_1=1,\ \ \ B_1=1,\ \ \ C_1=1,\ \ \ D_1=1$$
及び
$$\left\{\begin{array}{l} A_2=2\\ B_2=1-2x^2+k^2x^4\\ C_2=1-2k^2x^2+k^2x^4\\ D_2=1-k^2x^4 \end{array}\right.$$
とします。

次に加法公式において$u,v$をそれぞれ$nu,nu$または$nu,\left(n+1\right)u$とおき、ここに(1)または(2)を代入します。例えば$\mathrm{sn}$の加法公式における$u,v$を共に$nu$とすれば、
$$\mathrm{sn}\ 2nu=\frac{2\mathrm{sn}\ nu\ \mathrm{cn}\ nu\ \mathrm{dn}\ nu}{1-k^2\mathrm{sn}^4nu}$$
よって今$n$を奇数とすれば
$$\frac{xyzA_{2n}}{D_{2n}}=\frac{\displaystyle2\frac{xA_n}{D_n}\frac{yB_n}{D_n}\frac{zC_n}{D_n}}{\displaystyle1-k^2\frac{x^4{A_n}^4}{{D_n}^4}}=\frac{2xyzA_nB_nC_nD_n}{{D_n}^4-k^2x^4{A_n}^4}$$
したがって
$$\begin{eqnarray*} A_{2n}&=&2A_nB_nC_nD_n\\ D_{2n}&=&{D_n}^4-k^2x^4{A_n}^4 \end{eqnarray*}$$

また$n$を偶数とすれば
$$\frac{xyzA_{2n}}{D_{2n}}=\frac{\displaystyle2\frac{xyzA_n}{D_n}\frac{B_n}{D_n}\frac{C_n}{D_n}}{\displaystyle1-k^2\frac{x^4y^4z^4{A_n}^4}{{D_n}^4}}=\frac{2xyzA_nB_nC_nD_n}{{D_n}^4-k^2x^4y^4z^4{A_n}^4}$$

したがって
$$\begin{eqnarray*} A_{2n}&=&2A_nB_nC_nD_n\\ D_{2n}&=&{D_n}^4-k^2x^4y^4z^4{A_n}^4 \end{eqnarray*}$$

このようにして種々の場合を調べると結局次の関係式を得ることができます。

$n$が奇数のとき
$$\left\{\begin{array}{l} A_{2n}=2A_nB_nC_nD_n\\ B_{2n}=y^2{B_n}^2{D_n}^2-x^2z^2{A_n}^2{C_n}^2\\ C_{2n}=z^2{C_n}^2{D_n}^2-k^2x^2y^2{A_n}^2{B_n}^2\\ D_{2n}={D_n}^4-k^2x^4{A_n}^4 \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} A_{2n+1}=A_nB_{n+1}C_{n+1}D_n+y^2z^2A_{n+1}B_nC_nD_{n+1}\\ B_{2n+1}=B_nB_{n+1}D_nD_{n+1}-x^2z^2A_nA_{n+1}C_nC_{n+1}\\ C_{2n+1}=C_nC_{n+1}D_nD_{n+1}-k^2x^2y^2A_nA_{n+1}B_nB_{n+1}\\ D_{2n+1}={D_n}^2{D_{n+1}}^2-k^2x^4y^2z^2{A_n}^2{A_{n+1}}^2 \end{array}\right.$$

$n$が偶数のとき
$$\left\{\begin{array}{l} A_{2n}=2A_nB_nC_nD_n\\ B_{2n}={B_n}^2{D_n}^2-x^2y^2z^2{A_n}^2{C_n}^2\\ C_{2n}={C_n}^2{D_n}^2-k^2x^2y^2z^2{A_n}^2{B_n}^2\\ D_{2n}={D_n}^4-k^2x^4y^4z^4{A_n}^4 \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} A_{2n+1}=y^2z^2A_nB_{n+1}C_{n+1}D_n+A_{n+1}B_nC_nD_{n+1}\\ B_{2n+1}=B_nB_{n+1}D_nD_{n+1}-x^2z^2A_nA_{n+1}C_nC_{n+1}\\ C_{2n+1}=C_nC_{n+1}D_nD_{n+1}-k^2x^2y^2A_nA_{n+1}B_nB_{n+1}\\ D_{2n+1}={D_n}^2{D_{n+1}}^2-k^2x^4y^2z^2{A_n}^2{A_{n+1}}^2 \end{array}\right.$$
試しに$A_3,\cdots,A_4,\cdots$を計算すれば次のようになります。
$$\left\{\begin{array}{l} A_3=3-4\left(1+k^2\right)x^2+6k^2x^4-k^4x^8\\ B_3=1-4x^2+6k^2x^4-4k^4x^6+k^4x^8\\ C_3=1-4k^2x^2+6k^2x^4-4k^2x^6+k^4x^8\\ D_3=1-6k^2x^4+4k^2\left(1+k^2\right)x^6-3k^4x^8 \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} A_4=4-8\left(1+k^2\right)x^2+20k^2x^4-20k^4x^8+8k^4\left(1+k^2\right)x^{10}\\ \hspace{1cm}-4k^6x^{12}\\ B_4=1-8x^2+4\left(2+5k^2\right)x^4-8k^2\left(3+4k^2\right)x^6\\ \hspace{1cm}+2k^4\left(27+8k^2\right)x^8-8k^4\left(3+4k^2\right)x^{10}\\ \hspace{1cm}+4k^4\left(2+5k^2\right)x^{12}-8k^6x^{14}+k^8x^{16}\\ C_4=1-8k^2x^2+4k^2\left(5+2k^2\right)x^4-8k^2\left(4+3k^2\right)x^6\\ \hspace{1cm}+2k^2\left(8+27k^2\right)x^8-8k^4\left(4+3k^2\right)x^{10}\\ \hspace{1cm}+4k^6\left(5+2k^2\right)x^{12}-8k^8x^{14}+k^8x^{16}\\ D_4=1-20k^2x^4+32k^2\left(1+k^2\right)x^6-2k^2\left(8+29k^2+8k^4\right)x^8\\ \hspace{1cm}+32k^4\left(1+k^2\right)x^{10}-20k^6x^{12}+k^8x^{16} \end{array}\right.$$

注意：加法公式を利用して$A_n,\cdots$から$A_{n+1},\cdots$を求めます。関係式を作ると、それによって出来る$\frac{\displaystyle A_{n+1}}{\displaystyle D_{n+1}},\cdots$が既約分数でないという不便が伴うことがあります。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017