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実楕円関数

実楕円関数を標準形に直すときにはその母数を$0\leq k\leq 1$を満たすようにできることは第4回で証明しました。このような特別な母数をもつ楕円関数$\mathrm{sn},\mathrm{cn},\mathrm{dn}$等は実用問題にもしばしば現れますし、また前回までに取り扱ってきた一般のものよりも簡単で理解しやすい点もあるため、以下特にこれについて述べることにします。
\[
u=\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2x^2\right)}} (0\leq k\leq 1)
\]
において、今
\[
x=\sin\varphi\tag{1}
\]
とおけば
\[
u=\int_0^\varphi\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
\]
となります（今後この形の積分も第一種楕円積分と呼びます。）。ただし$\varphi$は実変数、したがって$x$は$0\leqq\left|x\right|\leqq1$であるものと考えます。$u$を$\varphi$の関数と考えれば単調増加関数です。それは$\displaystyle\frac{du}{d\varphi}$を考えればただちに分かります。したがって$\varphi$を$u$の関数と考えても単調増加関数です。この関数を振幅（Amplitude）と名付け
\[
\varphi=\mathrm{am}\ u\tag{2}
\]
と書くことにしましょう。既に知られている$K$の定義により
\[
\mathrm{am}\ K=\frac{\pi}{2}
\]
一般に
\[
\mathrm{am}\left(nK\right)=\frac{n\pi}{2}\hspace{1cm}\left(nは整数\right)
\]
です。

(1)、(2)から
\[
x=\sin\varphi=\sin\mathrm{am}\ u
\]
すなわち
\[
\mathrm{sn}\ u=\sin\mathrm{am}\ u
\]
となります。同様にして
\[
\mathrm{cn}\ u=\cos\mathrm{am}\ u,\ \ \ \mathrm{dn}\ u=\varDelta\mathrm{am}\ u
\]
です。ただし$\varDelta\left(t\right)$は$\displaystyle\sqrt{1-k^2\sin^2t}$の関数を示す記号とします。

$u$と$\mathrm{am}\ u$の関係は大体正比例に近いです。したがって実変数$u$に対する$\mathrm{sn}\ u$、$\mathrm{cn}\ u$、$\mathrm{dn}\ u$の変化を示す曲線はそれぞれ$\sin u$、$\cos u$、$\varDelta u$のそれに似たものです。

次に変数$u$が純虚数となるときの$\mathrm{sn}\ u$等の値を調べるために
\[
x=\frac{it}{\sqrt{1-t^2}}\tag{3}
\]
とおけば、
\[
\int^x_0\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2x^2\right)}}=i\int^t_0\frac{dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^{‘2}t^2\right)}}
\]
の結果を得ます。この各辺を$iu$に等しいとおけば、これから
\[
x=\mathrm{sn}\left(iu,k\right),\ \ \ t=\mathrm{sn}\left(u,k’\right)
\]
を得ることもできます。これを(3)に代入すれば
\[
\mathrm{sn}\left(iu,k\right)=\frac{i\ \mathrm{sn}\left(u,k’\right)}{\mathrm{cn}\left(u,k’\right)}
\]
したがって
\begin{eqnarray*}
\mathrm{sn}\left(iu,k\right)&=&\sqrt{1-\mathrm{sn}^2\left(iu,k\right)}=\frac{1}{\mathrm{cn}\left(u,k’\right)}\\
\mathrm{dn}\left(iu,k\right)&=&\sqrt{1-k^2\mathrm{sn}^2\left(iu,k\right)}=\frac{\mathrm{dn}\left(u,k’\right)}{\mathrm{cn}\left(u,k’\right)}\\
\end{eqnarray*}
の式を得ます。ただし最後の分子を算出するときには
\[
\mathrm{dn}^2\left(u,k’\right)=1-k^{‘2}\mathrm{sn}^2\left(u,k’\right)
\]
となることに注意しなければなりません。

一々母数を添記するのは面倒なので、$\mathrm{sn}\left(u,k\right)$は単に$\mathrm{sn}\ u$とし、$\mathrm{sn}\left(u,k’\right)$は$\overline{\mathrm{sn}}\ u$とする等の規約を設けることにすれば、上の三式は次のようになります。
\[
\mathrm{sn}\left(iu\right)=\frac{\displaystyle i\ \overline{\mathrm{sn}}\ u}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}\ u},\ \ \
\mathrm{cn}\left(iu\right)=\frac{1}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}\ u},\ \ \
\mathrm{dn}\left(iu\right)=\frac{\displaystyle\overline{\mathrm{dn}}\ u}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}\ u}
\]

ここで、加法定理によりさらに次の公式を得ます。これによって複素変数に対する$\mathrm{sn}\left(u+iv\right)$等を実関数をもって表すことが出来たことになります。
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{sn}\left(u+iv\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \overline{\mathrm{dn}}\ v+i\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u\ \overline{\mathrm{sn}}\ v\ \overline{\mathrm{cn}}\ v}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}^2v+k^2\mathrm{sn}^2u\ \overline{\mathrm{sn}}^2v}\\
\mathrm{cn}\left(u+iv\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{cn}\ u\ \overline{\mathrm{cn}}\ v-i\ \mathrm{sn}\ u\ \mathrm{dn}\ u\ \overline{\mathrm{sn}}\ v\ \overline{\mathrm{dn}}\ v}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}^2v+k^2\mathrm{sn}^2u\ \overline{\mathrm{sn}}^2v}\\
\mathrm{dn}\left(u+iv\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{dn}\ u\ \overline{\mathrm{cn}}\ v\ \overline{\mathrm{dn}}\ v-ik^2\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ u\ \overline{\mathrm{sn}}\ v}{\displaystyle\overline{\mathrm{cn}}^2v+k^2\mathrm{sn}^2u\ \overline{\mathrm{sn}}^2v}
\end{array}\right.
\]
特に$v=K’,2K’$とおけば次の結果を得ます。
\[
\begin{array}{lr}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+iK’\right)=\frac{1}{k}\frac{1}{\mathrm{sn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+iK’\right)=-\frac{i}{k}\frac{\mathrm{dn}\ u}{\mathrm{sn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+iK’\right)=-i\frac{\mathrm{cn}\ u}{\mathrm{sn}\ u}
\end{array}\right. &
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+2iK’\right)=\mathrm{sn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+2iK’\right)=-\mathrm{cn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+2iK’\right)=-\mathrm{dn}\ u
\end{array}\right.
\end{array}
\]

$\mathrm{sn}\ u$の一対の基本周期が$4K,2iK’$になることは既知のことですが、今回の議論によって$\mathrm{cn},\mathrm{dn}$の基本周期はそれぞれ
\[
4K,\ 2K+2iK’\hspace{1cm}及び\hspace{1cm}4K,\ 2iK’
\]
となることがわかります。

$u$が$0$と$iK’$を結ぶ線分上にあるときは
\[
\Re\left(\mathrm{sn}\ u\right)=0,\ \ \ \Im\left(\mathrm{sn}\ u\right)\gt0
\]
となります。