$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
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Landen 変換

大小2つの円があって一方が全く他方の内部にあるものとします。大円の中心を$C$、小円のを$c$とし、$C$及び$c$を通る大円の直径を$AB$とし、大小二円の半径をそれぞれ$R,r$とします。中心間の距離を$\delta$とすれば$\delta< R-r$です。 小円に$T$において接する大円の一つの弦$FF'$を引き、 \[ \angle ACF=2\varphi,\ \ \ \angle ACF'=2\varphi' \] とします。そのとき \begin{eqnarray*} \overline{FT}^2=\overline{Fc}^2-r^2&=&\left(R^2+\delta^2+2R\delta\cos2\varphi\right)-r^2\\ &=&\left(R+\delta\right)^2-r^2-4R\delta\sin^2\varphi \end{eqnarray*} です。ここで \[ \frac{4R\delta}{\left(R+\delta\right)^2-r^2}=k^2\tag{1} \] とおけば、 \[ \overline{FT}=\sqrt{\left(R+\delta\right)^2-r^2}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} \] となります。全く同様にして \[ \overline{F' T}=\sqrt{\left(R+\delta\right)^2-r^2}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'} \] 従って \[ \overline{FT}\colon\overline{F' T}=\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\colon\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}\tag{2} \] の関係を得ることができます。 今$FF'$が小円に接しつつ$GG'$のように変位したと考え、$\varphi$及び$\varphi'$における変化を$d\varphi,d\varphi'$とし、$FF'$と$GG'$の交点を$L$とすれば、 \[ d\varphi\colon d\varphi'=\overset{\Huge\frown}{FG}\colon\overset{\Huge\frown}{F' G'} \] $d\varphi,d\varphi'$が無限小となる極限においては \[ \overset{\Huge\frown}{FG}\colon\overset{\Huge\frown}{F' G'}=\overline{FG}\colon\overline{F' G'}=\overline{FL}\colon\overline{LF'}=\overline{FT}\colon\overline{TF'} \] よって \[ d\varphi\colon d\varphi'=\overline{FT}\colon\overline{TF'} \] これと(2)から \[ \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{d\varphi'}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}}\tag{3} \] の結果が得られます。ここで$0\leq k\leq1$となることは(1)において$\delta\leq R-r$の仮定を用いることで容易に証明できることになります。 $\varphi$と$\varphi'$の間に成立する(3)の関係は$k$にのみ関するもので$R,r,\delta$などの個々の値には無関係です。よって今$k$と$R$を一定に保ちつつ$r\rightarrow0$とすれば、極限において \[ \frac{4R\delta}{\left(R+\delta\right)^2}=k^2 \] 従って \[ \delta=\frac{1-k'}{1+k'}R,\ \ \ k'=\sqrt{1-k^2} \] を得ることができます。直径$AB$上にこの$\delta$の値に等しく$\overline{CO}$をとれば、点$O$は前の円$c$の縮小した極限とみられます。 ゆえに$O$を通る弦$FF'$を引き \[ \angle ACF=2\varphi,\ \ \ \angle ACF'=2\varphi' \] とすれば、(3)がやはり成立します。また$T$も$O$に一致しているのであるから \[ \overline{FO}=\left(R+\delta\right)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\tag{4} \] 今$\angle AOF=\varphi_1$とすれば、 \[ \overline{CF}\colon\overline{CO}=\sin\varphi_1\colon\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right) \] すると \[ \overline{CF}=R,\ \ \ \overline{CO}=k_1R\hspace{1cm}\left(ただし　k_1=\frac{1-k'}{1+k'}\right) \] であるから、 \[ \sin\left(2\varphi-\varphi_1\right)=k\sin\varphi_1\tag{5} \] となります。また一方において直接 \[ \varphi_1=\varphi+\varphi'-\frac{\pi}{2} \] であることも容易に証明されます。これを微分すれば \[ d\varphi_1=d\varphi+d\varphi' \] 従って \[ \frac{d\varphi_1}{d\varphi}=1+\frac{d\varphi'}{d\varphi}=1+\frac{OF'}{FO}=\frac{FF'}{FO}\tag{6} \] さて$FO$は(4)に示す通りですが、$\overline{FF'}$がまだ計算していません。次にこれを求めましょう。まず$\overline{FF'}=\overline{FO}+\overline{OF'}$で、$\overline{FO}$と$\overline{OF'}$の差と積は次の通りです。 \begin{eqnarray*} \overline{OF}-\overline{OF'}&=&2\cdotp\overline{OC}\cos\varphi_1=2Rk_1\cos\varphi_1\\ \overline{OF}\cdotp\overline{OF'}&=&\overline{OA}\cdotp\overline{OB}=R\left(1+k_1\right)\cdotp R\left(1-k_1\right)=R^2\left(1-{k_1}^2\right) \end{eqnarray*} 従って \begin{eqnarray*} \overline{OF}+\overline{OF'}&=&\sqrt{\left(\overline{OF}-\overline{OF'}\right)^2+4\cdotp\overline{OF}\cdotp\overline{OF'}}\\ &=&\sqrt{4R^2{k_1}^2\cos^2\varphi_1+4R^2\left(1-{k_1}^2\right)}\\ &=&2R\sqrt{1-{k_1}^2\sin^2\varphi_1} \end{eqnarray*} これと(4)を(6)に代入すると \[ \frac{d\varphi_1}{d\varphi}=\frac{2R}{R+\delta}\frac{\sqrt{1-{k_1}^2\sin^2\varphi_1}}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} \] そしてここに \[ \frac{2R}{R+\delta}=\frac{2}{1+k_1} \] であるから、結局 \[ \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\frac{1+k_1}{2}\frac{d\varphi_1}{\sqrt{1-{k_1}^2\sin^2\varphi_1}}\tag{7} \] の式を得ることができます。 (7)の両辺にある第一種楕円積分はその母数が異なります。これらを比較してみると \[ k_1=\frac{1-k'}{1+k'} \] だから \[ k'=\frac{1-k_1}{1+k_1} \] 従って \[ k^2=1-\left(\frac{1-k_1}{1+k_1}\right)^2=\frac{4k_1}{\left(1+k_1\right)^2} \] ゆえに \[ \left(\frac{k}{k_1}\right)^2=\frac{4}{k_1\left(1+k_1\right)^2}\gt1 \] よって \[ 0\leq k_1\leq k \] です。すなわち(7)は第一種楕円積分を同じ形でさらに小さな母数のものに帰着させられることを示すもので、ここに新旧両変数の関係は(5)の通りです。換言すれば、(7)の左辺において(5)の変換を行えばさらに小さな母数の右辺を得ます。この変換をLanden変換といいます。 (5)はまた次のように書き直せます。 \[ k_1=\frac{\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right)}{\sin\varphi_1} \] よって \[ k'=\frac{1-k_1}{1+k_1}=\frac{\sin\varphi_1-\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right)}{\sin\varphi_1+\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right)}=\frac{2\sin\left(\varphi_1-\varphi\right)\cos\varphi}{2\sin\varphi\cos\left(\varphi_1-\varphi\right)} \] ゆえに \[ \tan\left(\varphi_1-\varphi\right)=k'\tan\varphi\tag{8} \] この方が(5)よりも実際には便利です。 Landen変換を応用して実際に第一種楕円積分を計算することは次回に譲ることにして、ここでついでに上記の理論の副産物として$\mathrm{sn}$関数の加法公式を導いておきましょう。 (3)は$\varphi$と$\varphi'$の間の微分方程式ですが微分を用いない関係式も得ることができます。 $C$から$FF'$に下ろした垂線の足を$f$とすれば、 \begin{eqnarray*} \overline{FT}+\overline{F' T}&=&2\cdotp\overline{Ff}=2R\sin\left(\varphi'-\varphi\right)\\ \overline{FT}-\overline{F' T}&=&2\cdotp\overline{fT}=2\delta\sin\left(\varphi'+\varphi\right) \end{eqnarray*} これから \begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}+\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}}{\sin\left(\varphi'-\varphi\right)}&=&\frac{1+\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}\\ \frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}-\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}}{\sin\left(\varphi'+\varphi\right)}&=&\frac{1-\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}{\sin\alpha} \end{eqnarray*} を得ます。ここに$\alpha$は$\varphi=0$のときの$\varphi'$の値とします。この二式から \[ \frac{\sin^2\varphi'-\sin^2\varphi}{\sin\varphi'\cos\varphi\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}+\sin\varphi\cos\varphi'\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}}=\sin\alpha\tag{9} \] を得ます。これはすなわち$\varphi,\varphi'$の間の一つの関係でちょうど微分方程式(3)の解に相当するものです（$\alpha$は積分定数）。 ここで \[ v=\int_0^\varphi\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\ \ \ u=\int_0^{\varphi'}\frac{d\varphi'}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi'}} \] とおけば、(3)の一解は$u-v=C_1$（定数）で、また(9)は \[ \frac{\mathrm{sn}^2u-\mathrm{sn}^2v}{\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v+\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}=C_2\left(定数\right) \] となります。これらの二つの解を比較することによって \begin{eqnarray*} \mathrm{sn}\left(u-v\right)&=&\frac{\mathrm{sn}^2u-\mathrm{sn}^2v}{\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v+\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}\\ &=&\frac{\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}{1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v} \end{eqnarray*} を得ます。