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第21講:σ関数

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\sigma関数

以前、\wp\left(u\right)から\zeta\left(u\right)を導いたのと同様の手段を\zeta\left(u\right)に適用してみましょう。
\begin{eqnarray*} \int_0^u\left\{\zeta\left(u\right)-\frac{1}{u}\right\}du&=&\int_0^u{\sum}’\left\{\frac{1}{u-w}+\frac{1}{w}+\frac{u}{w^2}\right\}du\\ &=&{\sum}’\left\{\log\frac{u-w}{-w}+\frac{u}{w}+\frac{u^2}{2w^2}\right\} \end{eqnarray*}
今度は\logが出て来たので、これを消すために全体の指数関数を作ると
\exp{\sum}’\left\{\log\frac{u-w}{-w}+\frac{u}{w}+\frac{u^2}{2w^2}\right\}={\prod}’\left\{\left(1-\frac{u}{w}\right)e^{\frac{u}{w}+\frac{u^2}{2w^2}}\right\}
この無限乗積で表されるuの関数は0以外のwの点で一位の零点をもちます。もしu=0でも一位の零点をもたせようとするなら、これにuの因数を掛けておけば良いです。よって、ここに
\sigma\left(u\right)=u{\prod}’\left\{\left(1-\frac{u}{w}\right)e^{\frac{u}{w}+\frac{u^2}{2w^2}}\right\}\tag{1}
という形の新しい関数を作ります。

 以上の手順から明らかな通り、\sigma\left(u\right)\zeta\left(u\right)の間には次の関係があることが分かります。
\begin{alignat*}{1} \sigma\left(u\right)&=u\exp\left[\int_0^u\left\{\zeta\left(u\right)-\frac{1}{u}\right\}du\right]\\ \log\sigma\left(u\right)&=\log u+\int_0^u\left\{\zeta\left(u\right)-\frac{1}{u}\right\}du\\ \zeta\left(u\right)&=\frac{d}{du}\log\sigma\left(u\right)=\frac{\sigma’\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}\tag{2} \end{alignat*}

 \sigma\left(u\right)は今までの\wp\left(u\right)\zeta\left(u\right)と違ってu=wの点において極をもたず、またw以外の有限点ではもちろん正則だから、結局\sigma\left(u\right)は整関数であることになります。これは楕円関数ではありません。なお、\sigma\left(u\right)が奇関数であること、及び
\lim_{u\rightarrow0}\frac{\sigma\left(u\right)}{u}=1
であること等は(1)からただちに分かります。よって、
\sigma\left(u\right)=u+c_3u^3+c_5u^5+\cdots
とおいて(2)の右辺に入れ、前回得た\zeta\left(u\right)の展開式と比較すれば
c_3=0,\ \ \ c_5=-\frac{g_2}{240},\ \ \ c_7=-\frac{g_3}{840},\ \cdots
等の値を得ることができます。

 次には周期に対する性質を調べましょう。但し、上述のように\sigma\left(u\right)は楕円関数ではないため真の意味における周期であるものは存在しませんが、従来の2\omega_1,2\omega_3(一般にはw)のことをやはり\sigma\left(u\right)の周期と呼ぶことにします。

 \zeta\left(u\right)に関しては以前導いたように
\zeta\left(u+2\omega_1\right)=\zeta\left(u\right)+2\eta_1
の公式が成立します。

この両辺をuに関して積分すれば、(2)より、
\log\sigma\left(u+2\omega_1\right)=\log\sigma\left(u\right)+2\eta_1u+c\hspace{1cm}\left(cは定数\right)
を得ます。従って、
\sigma\left(u+2\omega_1\right)=Ce^{2\eta_1u}\sigma\left(u\right)\hspace{1cm}\left(Cは定数\right)
となることが分かります。Cを決定するためにu=-\omega_1とおけば
\sigma\left(\omega_1\right)=Ce^{-2\eta_1\omega_1}\sigma\left(-\omega_1\right)=-Ce^{-2\eta_1\omega_1}\sigma\left(\omega_1\right)
ここで\sigma\left(\omega_1\right)\neq0だから、これからC=-e^{2\eta_1\omega_1}を得ることもできます。従って、次の公式を導くことができます。
\sigma\left(u+2\omega_1\right)=-e^{2\eta_1\left(u+\omega_1\right)}\sigma\left(u\right)\tag{3}
同様に
\sigma\left(u+2\omega_3\right)=-e^{2\eta_3\left(u+\omega_3\right)}\sigma\left(u\right)\tag{4}
(3)、(4)を反復して組み合わせればさらに一般の次の公式を得ることになります。
\sigma\left(u+2h_1\omega_1+2h_3\omega_3\right)=\left(-1\right)^{h_1+h_3}e^E\sigma\left(u\right)
ただし、
E=2\left(h_1\eta_1+h_3\eta_3\right)\left(u+h_1\omega_1+h_3\omega_3\right)+2h_1h_3\left(\eta_1\omega_3-\eta_3\omega_1\right)
この最後の項はLegendre の関係式を利用すればh_1h_3\pi iにすることが出来る項です。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三,『楕円関数論』,岩波書店,1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis (AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和,『楕円関数入門』,日本評論社,2001

[4]戸田盛和,『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49  ソリトンと物理学』,サイエンス社,2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz,『力学』,東京図書,2017

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