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楕円関数の表示式
有理関数を式で書き表すときは次の二種の方法のいずれかを用いるとその性質がよく表示されて便利です。一つ目は因数分解式と呼ばれるもので
f\left(z\right)=C\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m\left(z-b_i\right)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n\left(z-a_i\right)}\hspace{1cm}\left(Cは定数\right)
のように、その関数の極と零点を明示したものです。もう一つは部分分数式と呼ばれるもので
f\left(z\right)=C+\sum_{i=1}^n\left\{\frac{c_{i,1}}{z-a_i}+\frac{c_{i,2}}{\left(z-a_i\right)^2}+\cdots+\frac{c_{i,k_i}}{\left(z-a_i\right)^{k_i}}\right\}~~~\left(C,cは定数\right)
のように各々の極における展開式の主部を明示したものです。
楕円関数の表示式にもちょうどこれと同様の二種があります。
因数分解式に相当するもの
今、f\left(u\right)を楕円関数とし、その一つの周期平行四辺形内にある極及び零点をそれぞれその位数だけずつ重複して列記したものをa_1,a_2,\cdots,a_n及びb_1,b_2,\cdots,b_nとすれば、以前証明した定理6により
a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n+w
が言えます。ただしwはある一つの周期です。そこで、以下では便宜上b_n+wのことを単にb_nで表すことにします。そうすると正しく
a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\tag{1}
となり、b_nはやはり一つの零点ですが一般には最初に考えた平行四辺形内には存在しないことが分かります。さて、ここで
\varphi\left(u\right)=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-b_i\right)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-a_i\right)}
の関数を作ると、これは極及び零点がことごとくf\left(u\right)と一致しています。また、\varphi\left(u\right)は2\omega_1及び2\omega_3の周期をもつことも言えます。なぜならば、
\begin{eqnarray*}
\varphi\left(u+2\omega_1\right)&=&\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-b_i+2\omega_1\right)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-a_i+2\omega_1\right)}\\
&=&\frac{\displaystyle\left(-1\right)^ne^{\scriptsize{\displaystyle2\eta_1\sum_{i=1}^n\left(u-b_i+\omega_1\right)}}\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-b_i\right)}{\displaystyle\left(-1\right)^ne^{\scriptsize{\displaystyle2\eta_1\sum_{i=1}^n\left(u-a_i+\omega_1\right)}}\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-a_i\right)}
\end{eqnarray*}
すると(1)より
\sum_{i=1}^n\left(u-a_i+\omega_1\right)=\sum_{i=1}^n\left(u-b_i+\omega_1\right)
よって
\varphi\left(u+2\omega_1\right)=\varphi\left(u\right)
となります。2\omega_3についても全く同様です。
これを用いると\varphi\left(u\right)はf\left(u\right)と同じ周期をもつ楕円関数で、かつその極及び零点がそれぞれ一致するものであることが分かります。ゆえに定理3と系4により、
f\left(u\right)=C\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-b_i\right)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n\sigma\left(u-a_i\right)}\hspace{1cm}\left(Cは定数\right)
が導けます。
部分分数式に相当するもの
前のように楕円関数f\left(u\right)の極をa_1,a_2,\cdots,a_nと書きますが、今度は位数だけに重複して書くことにせず異なる極のみを書いたとして、その位数をそれぞれk_1,k_2,\cdots,k_mとすることにしましょう。さらに、各極a_i\left(i=1,2,\cdots,m\right)におけるf\left(u\right)の展開式の主部を
\frac{A_{i,1}}{u-a_i}+\frac{A_{i,2}}{\left(u-a_i\right)^2}+\cdots+\frac{A_{i,k_i}}{\left(u-a_i\right)^{k_i}}\tag{2}
と考えることにします。そうすれば定理4により
\sum_{i=1}^mA_{i,1}=0\tag{3}
であることが分かります。さて既に知られるように
\begin{array}{rl}
\displaystyle\zeta\left(u\right)=\frac{1}{u}+\cdots,\ & \displaystyle\wp\left(u\right)=\frac{1}{u^2}+\cdots,\ \ \ \wp’\left(u\right)=-\frac{2}{u^3}+\cdots,\\
\cdots,\ & \displaystyle\wp^{\left(k_i-2\right)}\left(u\right)=\left(-1\right)^{k_i}\frac{\left(k_i-1\right)!}{u^{k_i}}
\end{array}
ですから、次のような関数\varphi_i\left(u\right)を作ればちょうどa_iにおいて(2)と同じ主部の極をもつことになります。
\begin{eqnarray*}
\varphi_i\left(u\right)&=&A_{i,1}\zeta\left(u-a_i\right)+A_{i,2}\wp\left(u-a_i\right)+\frac{A_{i,3}}{2!}\wp’\left(u-a_i\right)\\
&&+\cdots+\left(-1\right)^{k_i}\frac{A_{i,k_i}}{\left(k_i-1\right)!}\wp^{\left(k_i-2\right)}\left(u-a_i\right)
\end{eqnarray*}
よって、
\sum_{i=1}^m\varphi_i\left(u\right)\tag{4}
の関数を作れば、これはf\left(u\right)とすべての極を共有するだけではなく、その各極における展開式の主部が全て一致するものとなります。ところで、(4)は\varphi_i\left(u\right)の構造を見ると第二項以下は\wp及びその逐次の導関数ですからもちろん楕円関数であることになります。ゆえに(4)が楕円関数であるかどうかは、結局、
\sum_{i=1}^mA_{i,1}\zeta\left(u-a_i\right)\tag{5}
の問題に帰着することになります。そこでこの式においてuをu+2\omega_1に変えてみると、
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^mA_{i,1}\zeta\left(u-a_i+2\omega_1\right)&=&\sum_{i=1}^mA_{i,1}\left\{\zeta\left(u-a_i\right)+2\eta_1\right\}\\
&=&\sum_{i=1}^mA_{i,1}\zeta\left(u-a_i\right)+2\eta_1\sum_{i=1}^mA_{i,1}
\end{eqnarray*}
この最後の項は(3)より0に等しいことが直ちに分かります。よって(5)、2\omega_1の周期をもつことになります。2\omega_3についても同様です。ゆえに(4)は楕円関数です。そうすれば定理3と系3により、(4)はf\left(u\right)と定数だけの差をもつものであることが言えます。よって、
\begin{eqnarray*}
f\left(u\right)&=&C+\sum_{i=1}^m\left\{A_{i,1}\zeta\left(u-a_i\right)+A_{i,2}\wp\left(u-a_i\right)-\frac{A_{i,3}}{2!}\wp’\left(u-a_i\right)\right.\\
&&\left.+\cdots+\left(-1\right)^{k_i}\frac{A_{i,k_i}}{\left(k_i-1\right)!}\wp^{\left(k_i-2\right)}\left(u-a_i\right)\right\}\hspace{1cm}\left(Cは定数\right)
\end{eqnarray*}
楕円関数の積分の表示についてのまとめ
(2)の結果からf\left(u\right)の積分を考えてみると、まずCの積分はuの一次式となり、\zeta,\wp,\wp’,\wp^{”},\cdotsの積分はそれぞれ\log\sigma,-\zeta,\wp,\wp’,\cdotsとなることが分かります。この中で\wp,\wp’,\cdotsはつまるところ一つの楕円関数を作るだけなので、総括すれば一般に楕円関数の積分はたかだか四種類の関数から成立することが分かります。
参考文献
参考文献は以下の通り。
[1]竹内端三,『楕円関数論』,岩波書店,1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。
[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis (AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。
[3]戸田盛和,『楕円関数入門』,日本評論社,2001
[4]戸田盛和,『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49 ソリトンと物理学』,サイエンス社,2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。
[5]Landau・Lifshitz,『力学』,東京図書,2017