$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}$

$\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$関数

$v=\omega_i\left(i=1、2、3\right)$とおけば
\[
\wp\left(u\right)-e_i=-\frac{\sigma\left(u-\omega_i\right)\sigma\left(u+\omega_i\right)}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(\omega_i\right)^2}
\]
となる。すると$\sigma$関数の性質により
\[
\sigma\left(u+2\omega_i\right)=-e^{2\eta_i\left(u+\omega_i\right)}\sigma\left(u\right)
\]
であるから、ここで$u$を$u-\omega_i$に変えれば
\[
\sigma\left(u+\omega_i\right)=-e^{2\eta_iu}\sigma\left(u-\omega_i\right)\tag{1}
\]
したがって上の式は次のように書き直される。
\[
\wp\left(u\right)-e_i=\frac{e^{2\eta_iu}\sigma\left(u-\omega_i\right)^2}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(\omega_i\right)^2}=\frac{e^{-2\eta_iu}\sigma\left(u+\omega_i\right)^2}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(\omega_i\right)^2}
\]
ゆえに
\[
\sqrt{\wp\left(u\right)-e_i}=\pm\frac{e^{\eta_iu}\sigma\left(u-\omega_i\right)}{\sigma\left(u\right)\sigma\left(\omega_i\right)}=\pm\frac{e^{-\eta_iu}\sigma\left(u+\omega_i\right)}{\sigma\left(u\right)\sigma\left(\omega_i\right)}
\]
この左辺は一見したところ二価関数のようであるのに関わらず右辺の方から考えると実は二つの一価関数を表すのである。
　ここで次のような新関数$\sigma_i\left(i=1、2、3\right)$を定義する。
\[
\left.\begin{array}{l}
\hspace{2cm}\displaystyle\sigma_i\left(u\right)=-\frac{e^{\eta_iu}\sigma\left(u-\omega_i\right)}{\sigma\left(\omega_i\right)}\\
または\\
\hspace{2cm}\displaystyle\sigma_i\left(u\right)=\frac{e^{-\eta_iu}\sigma\left(u+\omega_i\right)}{\sigma\left(\omega_i\right)}
\end{array}\right\}\tag{2}
\]
この二式が内容において同一であることは(1)によって明らかである。この関数を用いれば
\[
\wp\left(u\right)-e_i=\frac{\sigma_i\left(u\right)^2}{\sigma\left(u\right)^2}\tag{3}
\]
となる、そうしてこれに冠した根号の意味は
\[
\sqrt{\wp\left(u\right)-e_i}=\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}\tag{4}
\]
と定める。
　さてすでに知られるように
\[
\wp’\left(u\right)^2=4\left\{\wp\left(u\right)-e_1\right\}\left\{\wp\left(u\right)-e_2\right\}\left\{\wp\left(u\right)-e_3\right\}
\]
であるから、この両辺を平方に開けば
\begin{eqnarray*}
\wp’\left(u\right)&=&\pm2\sqrt{\wp\left(u\right)-e_1}\sqrt{\wp\left(u\right)-e_2}\sqrt{\wp\left(u\right)-e_3}\\
&=&\pm2\frac{\sigma_1\left(u\right)\sigma_2\left(u\right)\sigma_3\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)\sigma\left(u\right)\sigma\left(u\right)}
\end{eqnarray*}
左辺は一価関数であるから、右辺の根号はいずれか一方に定まるべきである。例によって両辺を$u$の冪級数に展開してその係数を比較すれば、負号をとるべきことが判る。ゆえに
\[
\wp’\left(u\right)=-2\frac{\sigma_1\left(u\right)\sigma_2\left(u\right)\sigma_3\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)^3}\tag{5}
\]
　一方において、(3)の両辺を微分すれば
\[
\wp’\left(u\right)=2\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}\frac{d}{du}\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}
\]
これと(5)を比較すれば次の結果を得る、
\[
\frac{d}{du}\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}=-\frac{\sigma_j\left(u\right)\sigma_k\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)^2}\tag{6}
\]
ただし$i、j、k$はそれぞれ$1、2、3$を一つずつ代表するものとする。さらに
\[
\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_i\left(u\right)}=1\div\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}、\ \ \ \frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma_j\left(u\right)}=\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}\div\frac{\sigma_j\left(u\right)}{\sigma\left(u\right)}
\]
となることに注意し、また
\[
e_i-e_j=\left\{\wp\left(u\right)-e_j\right\}-\left\{\wp\left(u\right)-e_i\right\}=\frac{\sigma_j\left(u\right)^2-\sigma_i\left(u\right)^2}{\sigma\left(u\right)^2}\tag{7}
\]
となることを利用して計算すれば、次の結果を得る、
\[
\left.\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{d}{du}\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_i\left(u\right)}=\frac{\sigma_j\left(u\right)\sigma_k\left(u\right)}{\sigma_i\left(u\right)^2}\\
\displaystyle\frac{d}{du}\frac{\sigma_i\left(u\right)}{\sigma_j\left(u\right)}=-\left(e_i-e_j\right)\frac{\sigma\left(u\right)\sigma_k\left(u\right)}{\sigma_j\left(u\right)^2}
\end{array}\right\}\tag{8}
\]
　さてここにおいて
\[
S\left(u\right)=\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}、\ \ \ C\left(u\right)=\frac{\sigma_1\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}、\ \ \ D\left(u\right)=\frac{\sigma_2\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}
\]
とおけば、(7)により
\[
\left\{\begin{array}{l}
C\left(u\right)^2=1-\left(e_1-e_3\right)S\left(u\right)^2\\
D\left(u\right)^2=1-\left(e_2-e_3\right)S\left(u\right)^2
\end{array}\right.
\]
また(8)により
\[
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{d}{du}S\left(u\right)=C\left(u\right)D\left(u\right)\\
\displaystyle\frac{d}{du}C\left(u\right)=-\left(e_1-e_3\right)S\left(u\right)D\left(u\right)\\
\displaystyle\frac{d}{du}D\left(u\right)=-\left(e_2-e_3\right)S\left(u\right)C\left(u\right)
\end{array}\right.
\]
これらの関係は15回に述べた$\mathrm{sn}、\mathrm{cn}、\mathrm{dn}$の間の関係に彷彿させるものがあることはただちに確認できるだろう。
　今上の$S\left(u\right)$を微分した式を書き直せば
\[
du=\frac{dS\left(u\right)}{C\left(u\right)D\left(u\right)}=\frac{dS\left(u\right)}{\sqrt{\left\{1-\left(e_1-e_3\right)S\left(u\right)^2\right\}\left\{1-\left(e_2-e_3\right)S\left(u\right)^2\right\}}}
\]
となる。そこで
\[
\sqrt{e_1-e_3}S\left(u\right)=z、\ \ \ \sqrt{e_1-e_3}u=w、\ \ \ \frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=k^2\tag{9}
\]
とおけば、
\[
dw=\frac{dz}{\sqrt{\left(1-z^2\right)\left(1-k^2z^2\right)}}
\]
の関係を得る、そうして$w=0$のとき$z=0$である。よって$z$は$\mathrm{sn}\ w$に他ならないことを知る、すなわち
\[
\mathrm{sn}\ w=\sqrt{e_1-e_3}\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}=\sqrt{e_1-e_3}\frac{\displaystyle\sigma\left(\frac{w}{\sqrt{e_1-e_3}}\right)}{\displaystyle\sigma_3\left(\frac{w}{\sqrt{e_1-e_3}}\right)}\tag{10}
\]
これで$\mathrm{sn}$関数が$\sigma$によって表されたのである。さて
\[
\sqrt{e_1-e_3}S\left(u\right)=\mathrm{sn}\ w
\]
となることが判ればしたがって
\begin{eqnarray*}
C\left(u\right)^2&=&1-\left(e_1-e_3\right)S\left(u\right)^2=1-\mathrm{sn}^2w=\mathrm{cn}^2w\\
D\left(u\right)^2&=&1-\left(e_2-e_3\right)S\left(u\right)^2=1-k^2\mathrm{sn}^2w=\mathrm{dn}^2w
\end{eqnarray*}
かつ$u\rightarrow0$のとき$C\left(u\right)\rightarrow1、D\left(u\right)\rightarrow1$であるから、
\[
C\left(u\right)=\mathrm{cn}\ w、\ \ \ D\left(u\right)=\mathrm{dn}\ w
\]
となることを知る。すなわち
\[
\mathrm{cn}\ w=\frac{\sigma_1\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}、\ \ \ \mathrm{dn}\ w=\frac{\sigma_2\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}\tag{11}
\]
である。
　さて$\mathrm{sn}\ w$が与えられたとすればその基本周期は既知と考えてよい、これを$4K、2iK’$とする。一方において$\sigma\left(u\right)$及び$\sigma_3\left(u\right)$の周期に対する性質をみると、
\begin{eqnarray*}
&&\left\{\begin{array}{l}
\sigma\left(u+2\omega_1\right)=-e^{2\eta_1\left(u+\omega_1\right)}\sigma\left(u\right)\\
\sigma\left(u+2\omega_3\right)=-e^{2\eta_3\left(u+\omega_3\right)}\sigma\left(u\right)
\end{array}\right.\\
&&\left\{\begin{array}{l}
\sigma_3\left(u+2\omega_1\right)=e^{2\eta_1\left(u+\omega_1\right)}\sigma_3\left(u\right)\\
\sigma_3\left(u+2\omega_3\right)=-e^{2\eta_3\left(u+\omega_3\right)}\sigma_3\left(u\right)
\end{array}\right.\\
\end{eqnarray*}
この最後の二式は$\sigma$の定義と$\sigma$の性質から証明される。したがって
\[
\frac{\sigma\left(u+2\omega_1\right)}{\sigma_3\left(u+2\omega_1\right)}=-\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}、\ \ \ \frac{\sigma\left(u+2\omega_3\right)}{\sigma_3\left(u+2\omega_3\right)}=\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}
\]
ゆえに$\displaystyle\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}$の周期は$4\omega_1、2\omega_3$である。そこで今
\[
K=\omega_1\sqrt{e_1-e_3}、\ \ \ iK’=\omega_3\sqrt{e_1-e_3}\tag{12}
\]
となるような$\omega_1、\omega_3$を採用したとすれば二つの関数
\[
\mathrm{sn}\left(u\sqrt{e_1-e_3}\right)、\ \ \ \sqrt{e_1-e_3}\frac{\sigma\left(u\right)}{\sigma_3\left(u\right)}
\]
は同一の周期をもつ楕円関数で極及び零点がすべて一致し、かつその比は$u\rightarrow0$のとき$1$に収束する。ゆえにちょうど(10)が成立することになる。
　次に逆に$\wp$の方を$\mathrm{sn}$で表すことを考えよう。
　(3)において$i=3$とすれば
\begin{eqnarray*}
\wp\left(u\right)-e_3&=&\frac{\sigma_3\left(u\right)^2}{\sigma\left(u\right)^2}\\
&=&\frac{e_1-e_3}{\mathrm{sn}^2w}
\end{eqnarray*}
したがって
\[
\wp\left(u\right)=\left(e_1-e_3\right)\left(\frac{1}{\mathrm{sn}^2w}+\frac{e_3}{e_1-e_3}\right)=\left(e_1-e_3\right)\left(\frac{1}{\mathrm{sn}^2w}-\frac{1+k^2}{3}\right)
\]
これを通常
\[
\wp\left(u\right)=\left(\frac{K}{\omega_1}\right)^2\left(\frac{1}{\mathrm{sn}^2w}-\frac{1+k^2}{3}\right)\tag{13}
\]
と書く。