d>2次元における共形代数
d>2の場合、共形Killing 方程式(51)は、もしϵ(x)が高々xの2次までなら解くことが出来る。従って、以下のように書くことが出来る。
ϵμ(x)=aμ+ωμνxν+λxμ+bμx2−2(b⋅x)xμ
但し、(b⋅x)、x2は短縮記法でbμxμ、xμxμである。ϵμが(52)を満たすとき、σ=λ−2b⋅xを得る。aμ、ωμν、λ、そしてbμはどれも有限個の成分を持っているということに注意が必要である。従って、共形代数やそれに関連する対称な群は有限次元である。各パラメーターの幾何学的な翻訳は表3.3に与えられている。
表3 d>2次元の場合における共形変換
名称 | ϵμ(x) | σ(x) | 演算子 |
並進 | aμ | 0 | Pμ |
Lorentz 変換 | ωμνxν、ωμν=−ωνμ | 0 | Jμν |
スケール変換 | λxμ | λ | D |
特殊共形変換 | bμx2−2(b⋅x)xμ | −2(b⋅x) | Kμ |
aμ、ωμνに対応する生成子は運動量ベクトルPμとJμνである。これらに加えて、λでパラメトライズされているスケール変換に対応する新たな演算子Dと特殊共形変換Kμも考える。Jμν、Pμ、D、Kμで構成されている共形代数はPoincare 代数(4)と(37)に加えて次の関係式も満たす。
{[Jμν,Kρ]=i(ημρKν−ηνρKμ)[D,Pμ]=iPμ[D,Kμ]=−iKμ[D,Jμν]=0[Kμ,Kρ]=0[Kμ,Pν]=−2i(ημνD−Jμν)
共形代数の交換関係を更に調べてみよう。特に、生成子Jμνは部分代数としてLorentz 代数so(d−1,1)を構成する。実は、共形代数の生成子は、共形代数が代数so(d,2)であるということから群を成す。so(d,2)のdは1,⋯,d−1と対応していて、2はd,d+1と対応している。ˉJAB=−JBAで書かれるようなso(d,2)の生成子は、(4)のような代数関係を満たす。但し、このとき、A、Bは0からd+1まで走り、η=diag(−1,⋯,1,1)はˉη=diag(−1,1,⋯,1,−1)に置き換わる。特に、生成子ˉJμν=:Jμν (μ,ν∈{0,⋯,d−1})はLorentz 群の生成子であるし、通常の交換関係(4)を満たす。
共形代数(53)を代数so(d,2)へ写すためには、so(d,2)の残りの生成子ˉJμd、ˉJμ(d+1) (μ∈{0,⋯,d−1})とˉJd(d+1)、共形代数の生成子D、Pμ、Kμの間の写像を構築する必要がある。生成子ˉJd(d+1)はLorentz 変換so(d−1,1)の下でスカラーとして変換するので、故にJμν (μ,ν∈{0,⋯,d−1})と交換する必要がある。従って、
ˉJd(d+1)=−D
と同定することが出来る。更に、ˉJμdとˉJμ(d+1)はLorentz 変換so(d−1,1)の下でベクトルとして変換するので、Pμ、Kμと関連付けられる。これは次のように正確に同定出来る(問題)。
ˉJμd=12(Kμ−Pμ) 、 ˉJμ(d+1)=12(Pμ+Kμ) μ∈{0,⋯,d−1}
問題
同定した(54)、(55)の下で、共形代数はso(d,2)で書けることを示せ。
問題
符号(p,q)の、すなわち、ηが固有値+1をp個と固有値−1をq個持つような、平らな時空の共形変換を考えた場合、共形代数がso(p+1,q+1)で与えられることを示せ。特に、d次元Euclid 時空での共形代数がso(d+1,1)で与えられることを示せ。
次に、先ほど考えた微小変換に加えて、有限の変換についても考えてみよう。特にスケール変換(パラメーターλは今、微小ではなく有限である。)と特殊共形変換(パラメーターbμ)
xμ↦λxμ
xμ↦xμ+bμx21+2b⋅x+b2x2
に興味がある。有限の共形変換においては、次のような反転というものを導入するのが便利である。
xμ↦x′μ=xμx2
特殊共形変換と反転は大域的に定義されていないことに注意しよう。反転に関して言えば、x2=0を満たす点は平らなEuclid 時空やMinkowski 時空に属していない無限遠に写される。同じことは特殊共形変換にも言える。与えられたベクトルbμに関して、1+2b⋅x+b2x2=0を満たす全ての点xは無限遠に写される。特殊共形変換を大域的に定義するためには、我々の平らな時空に点を加える必要がある。厳密に言うと、RdまたはRd−1,1の共形コンパクト化を考える必要があると言うことである。共形コンパクト化を得るためには、平らなEuclid 時空Rdの場合は、方程式x2:=δμνxμxν=0を満たすのはx=0だけだから無限遠点を1つ加えるだけで良い。しかし、平らなMinkowski 時空Rd−1,1の場合は、方程式x2:=δμνxμxν=0を満たす全ての点、すなわち、Rd−1,1における点x=0の光円錐を加える必要がある。
変換(58)は単位元に繋がっていないから、O(d,2)ではなくSO(d,2)の要素である。しかし、偶数回の反転を伴うような変換の組合せは単位元に関連した共形変換を再び生じる。これは次の演習問題で説明される。